Dados de Deus: junho 2011

As funções seno e cosseno são normalmente definidas geometricamente como a razão entre lados de um triângulo retângulo de hipotenusa unitária (Fig. 01).

Definição 1 (Geométrica) Considere um círculo de raio unitário centrado na origem [;O;]

de um sistema cartesiano ortogonal. Tome os pontos [;A;]

pertencente à circunferência e [;B;]

pertencente ao eixo horizontal e seja $[;\theta = \angle AOB;]$ , então $[;\sin\theta;]$ é a ordenada de [;A;]

e $[;\cos\theta;]$ sua abscissa. Temos ainda que $[;\sin\frac{k\pi}{2} = 1, \sin k\pi = 0, \sin\frac{3k\pi}{2} = -1, \sin 2k\pi = 0;]$ e $[;\cos\frac{k\pi}{2}=0,\cos k\pi = -1, \cos\frac{3k\pi}{2}=0, \cos 2k\pi = 0;]$ .

Fig. 01

Evidentemente chegamos à:

Propriedade 1 Seja $[;\theta \in \mathbb{R};]$ , então:

$[;\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta=1;]$

Demonstração: Pela Definição 1 e aplicando o Teorema de Pritágoras segue o resultado imediatamente.

Propriedade 2 Seja $[;\theta \in \mathbb{R};]$ , então:

$[;|\sin(\theta)|\leq 1;]$ e $[;|\cos(\theta)| \leq 1;]$

Demonstração: Da propriedade 1 e como $[;\theta \in \mathbb{R};]$ :

$[;\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta=1 \Rightarrow (|\sin\theta|)^{2} + (|\cos\theta|)^{2}=1;]$

Logo:

$[;(|\sin\theta|)^{2}\leq (|\sin\theta|)^{2}+(|\cos\theta|)^{2}=1;]$ $[;\Rightarrow |\sin\theta| \leq 1|;]$

$[;(|\cos\theta|)^{2} \leq (|\sin\theta|)^{2} + (|\cos\theta|)^{2}=1;]$ $[;\Rightarrow |\cos\theta| \leq 1|;]$ ■

Essa definição é muito útil e foi suficiente para o desenvolvimento de grande parte da trigonometria que conhecemos hoje. No entanto, existe uma consideração importantíssima nela inclusa: o domínio real.

No início do século XVIII iniciou-se uma busca pela expansão dos conceitos trigonométricos para o conjunto dos complexos, motivada por exemplo pelas tentativas de generalizar a resolução de equações como $[;\sin(x)=y;]$ para qualquer valor de [;y;]

(real ou complexo). Em 1714, Roger Cotes deu um passo crucial e chegou a uma fórmula de brilhantismo ímpar: $[;i\theta = ln[cos(\theta) + i\sin(\theta)];]$ .

Talvez por sua morte prematura aos 34 anos, Cotes não recebeu os créditos por sua descoberta, que foi publicada de forma parecida por Leonhard Euler, em 1748: $[;e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta;]$ . Apesar da inegável semelhança, foi Euler quem primeiro tratou os complexos como elementos fundamentais da álgebra das funções e não mais como objetos matemáticos misteriosos e estranhos.

Cotes cointribuiu ainda em outras áreas importantes, de modo que o próprio Isaac Newton teria certa vez mencionado "se Cotes tivesse vivido mais, talvez tivéssemos descoberto alguma coisa."

Brook Taylor publicou um estudo em 1712 sobre como aproximar uma função diferenciável [;k;]

vezes por um polinômio de k-ésimo grau (saiba mais). A relação do chamado Teorema de Taylor com funções analíticas inspirou uma nova definição, equivalente à anterior, das funções seno e cosseno, utilizando séries de Taylor, i.e. formas de se escrever funções como séries de funções infinitamente diferenciáveis.

Definição 2 (Analítica) Seja $[;z\in \mathbb{C};]$ , então

Note que ao expandirmos o domínio para os complexos, as proposições 1 e 2 NÃO são mais válidas.

Ainda utilizando séries de Taylor, podemos definir o número neperiano ( [;e;]

Definição 3 Seja $[;z\in \mathbb{C};]$ , então

$[;e^{z}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!};]$

Com isso, podemos agora provar as relações encontradas por Cotes e Euler:

Teorema 1 (Euler) Seja $[;x \in \mathbb{R};]$ :

$[;e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta;]$ [;(I);]

Demonstração: Pela Definição 3 e fazendo $[;z=i\theta;]$ :

$[;e^{i\theta}=1+\frac{i\theta}{1!}+\frac{{(i\theta)}^2}{2!}+\frac{{(i\theta)}^3}{3!} +\frac{{(i\theta)}^{4}}{4!} + \cdots;]$

$[;e^{i\theta} = 1 + i\theta -\frac{\theta^2}{2!}-\frac{i\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\cdots;]$

$[;e^{i\theta}= (1 - \frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+\cdots)+i(x-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+\cdots);]$

Assim, pela Definição 2:

$[;e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta;]$ ■

Como a função seno é ímpar e a função cosseno é par, note que fazendo $[;z=-i\theta;]$ em [;(I);]

, obtemos:

$[;e^{-i\theta}=\cos\theta -i\sin\theta;]$ [;(II);]

Somando e subtraindo [;(II);]

, chegamos a uma nova definição das funções trigonométricas:

Definição 4 (Exponencial) Seja $[;z \in \mathbb{C};]$ , então

$[;\cos \theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2};]$

$[;\sin \theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i};]$

Perceba agora que as imagens das funções seno e cosseno não são mais restritas ao intervalo $[;[-1,\ 1];]$ e sim ao conjunto dos complexos¹! Desta forma, podemos afirmar que existe $[;\theta \in \mathbb{C};]$ tal que $[;\cos(\theta)=2;]$ , i.e. pela Definição 4:

$[;\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=2 \Rightarrow e^{i\theta} + \frac{1}{e^{i\theta}}=4 \Rightarrow {{(e^{i\theta}})}^{2}-4(e^{i\theta})+1=0;]$

Aplicando a fórmula resolvente em $[;e^{i\theta};]$ ( $[;k\in \mathbb{Z};]$ ):

$[;e^{i\theta}=\frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2}= 2 \pm \sqrt3;]$ $[;\Rightarrow \theta=2k\pi - i\ln(2 \pm \sqrt3);]$

Para conhecer um pouco sobre os gráficos das funções trigonométricas complexas, acesse:

http://www.songho.ca/math/euler/euler.html

http://math.jccc.net:8180/webMathematica/JSP/swilson/cplxsin.jsp

¹ Para o leitor mais experiente, como as funções seno e cosseno são analíticas reais (intervalo aberto) e analíticas complexas (disco aberto), pelo Teorema de Liouville temos que de fato essas funções não podem ser limitadas em $[;\mathbb{C};]$ , já que não são constantes.

Referências bibliográficas:

APOSTOL, T. M.. Calculus: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra, with applications to Differential Equations and Probability. 2a Ed. Noida: Wiley-India, 1968.

HOLLINGDALE, Stuart. Makers of Mathematics. Harmondsworth: Penguin Books, 1989.

MAOR, Eli. Trigonometric delights, http://press.princeton.edu/books/maor/

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terça-feira, 28 de junho de 2011

cos(θ) = 2 !?