Dados de Deus

quarta-feira, 18 de maio de 2011

9o desafio

Prove que

é irracional.

Envie suas soluções para dadosdedeus@gmail.com

segunda-feira, 16 de maio de 2011

1o simulado ITA (Física) - RESOLUÇÃO

Como houve muitos pedidos e o simulado estava um pouco puxado, está aí a primeira resolução do simulado ITA de física.

Notamos que havia alguns problemas (conforme o esperado) nas questões. Já atualizamos a prova e o solucionário também já está corrigido. Pedimos sinceras desculpas para aqueles que de alguma forma foram prejudicados com os erros. Falha nossa.

Para quem ainda está com a primeira versão, as erratas já estão disponíveis em: http://dadosdedeus.blogspot.com/2011/05/1o-simulado-ita-fisica.html. Caso percebam outros erros, pedimos que avisem, por menores que pareçam, para que possamos estar sempre melhorando nosso trabalho.

Buscamos dar, quando possível, mais de uma solução para as questões. Vale atentar para como noções de cálculo podem ser úteis às vezes, especialmente em questões mais elaboradas (vide questões 5, 8 e 28).

Abraços e bons estudos!!!

sexta-feira, 13 de maio de 2011

Solução do 8° desafio

Como x, y e z são positivos, podemos dividir ambos os membros por $[;sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x+y+z}};]$ e obtermos:

$[;\sqrt{\frac{x(x+y+z)}{(x+y)(x+z)}}+\sqrt{\frac{y(x+y+z)}{(y+z)(y+x)}}+\sqrt{\frac{z(x+y+z)}{(z+x)(z+y)}}\geq2;]$ (I)

Mas se x, y e z são positivos, existe um triângulo com lados [;a=x+y;]

. Seja então [;s=x+y+z;]

, temos

Mas, do Teorema dos Cossenos:

$[;cos\gamma = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab};]$ $[;=\frac{{(a+b)}^{2}-c^{2}}{2ab}-1;]$ $[;= \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}-1;]$

Como $[;cos\gamma = 2{(\cos\frac{\gamma}{2})^{2}-1;]$ :

$[;\cos\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}};]$ $[;= \sqrt{\frac{y(x+y+z)}{(x+y)(y+z)}};]$

Analogamente, concluímos que:

$[;\cos(\alpha/2) = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}};]$ $[;=\sqrt{\frac{z(x+y+z)}{(y+z)(z+x)}};]$

$[;cos(\beta/2) = \sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}};]$ $[;=\sqrt{\frac{x(x+y+z)}{(x+y)(x+z)}};]$

Substituindo em (I):

$[;\cos{\frac{\alpha}{2}} + \cos{\frac{\beta}{2}} + \cos{\frac{\gamma}{2}}=;]$ $[;\sqrt{\frac{x(x+y+z)}{(x+y)(x+z)}} + \sqrt{\frac{y(x+y+z)}{(y+x)(y+z)}} + \sqrt{\frac{z(x+y+z)}{(z+x)(z+y)}};]$ (*)

Podemos ainda fazer as seguintes substituições:

Note que

(i.e. ângulos de um triângulo acutângulo) e:

Da desigualdade de Jordan (vide http://dadosdedeus.blogspot.com/2011/05/desigualdade-de-jordan.html), segue de imediato que:

[CQD]

(*) Existem várias outras formas de se provar essa desigualdade, como pela Desigualdade de Jensen, já que f(x) = cos(x) é uma função estritamente côncava no intervalo [0,π/2].

segunda-feira, 9 de maio de 2011

Desigualdade de Jordan

Considere a circunferência de raio $[;\overline{OA};]$ centrada na origem ilustrada abaixo e tome um ponto P qualquer no primeiro quadrante da mesma tal que $[;\angle{POA}=x;]$ .

Traçando a circunferência de raio $[;\overline{PM};]$ $[;\perp \overline{OA};]$ , temos que:

$[;m(PQ) = 2\sin(x);]$

$[;m(\widehat{PAQ}) = 2x;]$

$[;m(\widehat{PBQ}) = \pi \sin(x);]$

Mas:

$[;m(PQ) \leq m(\widehat{PAQ}) \leq m(\widehat{PBQ});]$

Da primeira parte da desigualdade vem $[;\sin(x)\leq x;]$ e da segunda vem $[;\frac{2}{\pi}x \leq \sin(x);]$ . Logo:

$[;\frac{2}{\pi}x \leq \sin(x);]$ $[;\leq x;]$ [CQD]

domingo, 1 de maio de 2011

1o simulado ITA (FÍSICA)

Dando continuidade ao nosso simulado estilo ITA, elaboramos agora uma prova de física.

Tudo foi feito nos mesmos moldes da de Matemática, inclusive preservamos a formatação original. Esperamos que esse simulado atenda às expectativas, tanto no tipo de questões quanto no nível de dificuldade, que tentamos tornar semelhante ao da prova do ITA.

De qualquer forma, esperamos o feedback de nossos queridos leitores, com críticas e sugestões, para podermos desenvolver um trabalho cada vez melhor =]

ERRATAS (1a versão):

- Questão 6: alternativas modificadas

- Questão 11: alternativas modificadas

- Questão 12: modificação na alternativa E

- Questão 18: armazenadas --> dissipadas

- Questão 22: modificação no enunciado.

Abraços e bons estudos!!!

sexta-feira, 29 de abril de 2011

8º desafio

Sejam x, y, z números reais positivos. Prove que

Envie sua solução para dadosdedeus@gmail.com !

sexta-feira, 22 de abril de 2011

1o simulado ITA (Matemática) - RESOLUÇÃO

A pedidos, segue a resolução completa e detalhada do 1o simulado.

Como é uma primeira versão e ainda não foi revisada, é ~~provável~~ possível que haja erros, por isso avisem se encontrarem!

Procuramos colocar algumas soluções diferentes do padrão, que fossem mais rápidas e sagazes que as triadicionais. Qualquer sugestão de resposta diferente será muito bem vinda =D

Bons estudos, galera!

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