Dados de Deus: Como calcular sin18° ?

sábado, 21 de maio de 2011

Como calcular sin18° ?

Apresentaremos duas formas de calcular $[;\sin{18^{o}};]$ , uma geométrica e outra algébrica. O s valores do seno e cosseno desse ângulo podem ser muito úteis na resolução de problemas. Pois bem, vamos lá!

Método geométrico:

Seja ABCDE um pentágono regular de lado unitário e O o centro de sua circunferência circunscrita. Sejam ainda Q o ponto correspondente à intersecção entre $[;\overline{BE};]$ e $[;\overline{AO};]$ e seja D a medida da diagonal $[;\overline{(BE)};]$ .

ABCDE regular $[;\Rightarrow;]$ $[;\angle ABC = 108^{o};]$ .

Por simetria, $[;m(\overline{BQ}) = m(\overline{EQ}) = m(\overline{\frac{BE}{2}});]$ . Logo $[;\angle ABQ = 36^{o};]$ , $[;\angle BAQ = 54^{o};]$ e $[;\angle AQB = 90^{o};]$ .

Tome o ponto $[;P \in \overline{AC};]$ tal que $[;\angle ABP = 36^{o};]$ (i.e. $[;P\in \overline{BE};]$ ) e $[;\angle CBP = 108^{o}-36^{o} = 72^{o};]$ .

$[;\Delta ABC;]$ isósceles $[;\Rightarrow \angle BAC = 36^{o};]$ e $[;\angle BCA = 36^{o};]$ . Logo, $[;\angle PAO = 54^{o} - 18^{o};]$ .

 (Triângulo aúreo).

 isósceles

$[;\Delta ABP;]$ isósceles $[;\Rightarrow m(\overline{AP}) = m(\overline{BP});]$

$[;\Delta ABP;]$ isósceles $[;\Rightarrow m(\overline{AP})=m(\overline{BP})=D-1;]$

Mas $[;m(\overline{PQ}) = m(\overline{BQ}) - m(\overline{BP}) = \frac{D}{2} - (D - 1);]$

Logo:

$[;\sin{18^{o}} = \frac{m(\overline{PQ})}{m(\overline{AP})} = \frac{1-\frac{D}{2}}{D-1} = \frac{sqrt{5} - 1}{4};]$

Método algébrico:

Note que $[;\sin(2\ .\ 18^{o})=\cos(3\ .\ 18^{o});]$ .

Vamos encontrar as soluções da equção trigonométrica:

$[;\sin(2x)=\cos(3x);]$

$[;2\sin(x)\cos(x)=\cos(2x)\cos(x)-2\sin^{2}(x)\cos(x);]$

$[;\cos(x)[2\sin(x)-\cos(2x)+2\sin^{2}(x)]=0;]$

$[;cos(x)[4\sin^{2}(x)+2\sin(x)-1]=0;]$

Com isso concluimos que as soluções ocorrem para $[;\cos(x)=0;]$ , $[;\sin(x)=\frac{\sqrt{5}-1}{4};]$ e $[;\sin(x)=\frac{-\sqrt{5}-1}{4};]$ . Como já vimos que $[;x=18^{o};]$ é solução e $[;cos(18^{o})\neq 0;]$ e $[;\sin(18^{o})\geq 0;]$ , temos que: