O Dados de Deus está inovando com uma série de postagens sobre demonstrações de teoremas utilizando conceitos físicos. Sim, sim, isso é possível!
Nessa primeira parte apresentaremos a famosa desigualdade das médias (clique aqui) utilizando conceitos básicos de termodinâmica. Vejamos:
Breve revisão...
Lei Zero da Termodinâmica: Em todo sistema isolado, haverá um estado particular caracterizado pela constância de todas as grandezas termodinâmicas mensuráveis determinado estado de equilíbrio termodinâmico.
1a Lei da Termodinâmica: A variação da energia interna de um sistema é igual à diferença entre o calor e o trabalho trocados pelo sistema com o meio exterior.
Matematicamente, esse enunciado é equivalente a:
![[;\Delta U_{int} = Q - W;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s1qgs0sDP51QY_dwRGZGiY-0D1ymJDYaFCIGSOvz6BKuUOMgBxKcfmVaDR2WFZmiyDIevAwMzj8zKf8PyF7V25Z4n8WXGqJZau5K6j1_rvHuKEcxjrSxQhwRLVI3No=s0-d "\Delta U_{int} = Q - W")
2a Lei da Termodinâmica: A entropia de um sistema isolado nunca decresce.
Matematicamente, esse enunciado é equivalente a (para um sistema isolado):
![[;S_{B} - S_{A} = \int_{A}^{B}\frac{dQ}{T}\geq0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tuMLE9wYHJxy69J3HZoEHStPbZ5pxqMW7CdoXTPBPC3EPuJ_neLzoDPkkz9goi5bCt6TYz18Co0rY4qyIhVBY7ekS6ztDtEBkwtfeCaO1ZuSwQH129k4HivjA7HckVT5rtvACtwsck9t40LtYNEbWgwaoFRs4bcZuOuOxKOSOyqAa8PeOShGmUclHbHg=s0-d "S_{B} - S_{A} = \int_{A}^{B}\frac{dQ}{T}\geq0")
A demonstração
Considere agora um sistema isolado composto por ![[;n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sWvEALaRyfLUoqsNC6ultw7iX1hWvTZjOarsHDme7H3shOTPub7tTt-7Id6k-YjexINBuojRpjj5o=s0-d "n")
recipientes idênticos de massa ![[;m;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ues20W--Ymz3kt5Gm1te3Db8DwGeIDQgE9Icz7AMv11zPtJYMF4Iu6K4GbzoxboDy4fhZa021P_A=s0-d "m")
e calor específico ![[;c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uf4ssb6QAUSf1MNbcrHqs5M-EvR3XC6iW0zK_sZab6jjXQevg3kFqHNLEtzEgfph8GglrSRN4DTwc=s0-d "c")
. Pela Lei Zero da Termodinâmica, os corpos tendem ao equilíbrio térmico a uma temperatura ![[;T_{F};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uVbo1FefHqKtIutNehmY0DcHz4CXt1BUeDZbFvzl3ouIk_AQmZjSOdW2OVzdjQBY4ohKp87jsRjpQymD6NtHwUXg=s0-d "T_{F}")
, em Kelvin (fig. 01).
recipientes idênticos de massa e calor específico . Pela Lei Zero da Termodinâmica, os corpos tendem ao equilíbrio térmico a uma temperatura , em Kelvin (fig. 01).
Durante esse processo, os recipientes com temperatura maior que
perdem calor para aqueles com tempetura inferior a . De acordo com a 1ª Lei da Termodinâmica, para um sistema isolado:![[;Q = 0 \Rightarrow Q_{1}+Q_{2}+...+Q_{n}=0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vmF-PhA-FQKzBJo1960z3rN-fp5caVfs4ctBFIj6GgfS1yq-naT_Ai4T6BPwKnQFx5veqD1SIMuhwlizzMYfA0y-JE5vRqd-sPlEyIULvCMHXsfimLlK1uIxJkkBj-hf4X1YOkSPHJ3fgdkdy0guZO5WBPux4ZJQ=s0-d "Q = 0 \Rightarrow Q_{1}+Q_{2}+...+Q_{n}=0")
![[;mc(T_{F}-T_{1})+mc(T_{F}-T_{2})+...+mc(T_{F}-T_{n})=0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_smGzpSFx-bx_0eq1e_aBgDY4dMxz-zkrfKcZjDzQHcHMMY3t4vA7VSpSNhW4y06iDWLqXkFXmqCkviRBXTBDXmeeYHtREzPSqz9C7mMjgDQiQdqrwK-f7cH8CFqQk6cXbzJfBUcUIcfaHry3sEegGYAfpBOSYXa_ROCi5oAMS9kAWt4KXjxsbxnhWr5On_l2Ks=s0-d "mc(T_{F}-T_{1})+mc(T_{F}-T_{2})+...+mc(T_{F}-T_{n})=0")
![[;T_{F}=\frac{T_{1}+T_{2}+...+T_{n}}{n};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sVn88_Qn8IQOzKezw-tFyDlegbG2p23oEEzLs65-CiSQhzL3aFFx2fwr2NEXGsxWPjJRTzWbhAICVBTdy-C-LzOK0OB72JntZ3JsHM05xyx8MSmxQ1OnqT8dlKFBQK40oBfCtIHHw9637whO5hZi2YsmLJan_psA=s0-d "T_{F}=\frac{T_{1}+T_{2}+...+T_{n}}{n}")
Pela 2ª Lei da Termodinâmica:
![[;\Delta S_{sist} = \Delta S_{1}+ \Delta S_{2}+...+ \Delta S_{n} \geq 0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vG0nOgnJ_DmmMrGWRI0VKoQNktJEs91QayetWXj9U82phU3OSkq8WM0PxPAVfcj6yjNPQdxlYhVBPgktOKAMCxses-7aVmUKMkQhlaV0uDfxVt7r8tRYzuGi-fMMXtdJ4KsX-jVRc6MLTGIitboKmaoTyiHFPxOBzP9sZf4d2f089n86H1_dGEhtQOortcbAWgWhf-qaqbxIBve6vPz1IAs-HNdN6PtkFYSzGH=s0-d "\Delta S_{sist} = \Delta S_{1}+ \Delta S_{2}+...+ \Delta S_{n} \geq 0")
Logo:
![[;\int_{T_{1}}^{T_{F}}\frac{dQ_{1}}{T} + \int_{T_{2}}^{T_{F}}\frac{dQ_{2}}{T} + ... + \int_{T_{n}}^{T_{F}}\frac{dQ_{n}}{T} \geq 0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vx9sCesKFIk9EupEG67G7nO6Y-2iLbOSnKMWtgbK1Th2-2p_Vt3wdBgMvbk5ZI7A15PCDY9BjCreVQBTbMCuBFdJZshSPKTX2DbZyvvrZ0k7zS59aNtoQkurmPU9Hk-5ySoFvdm7ikVXjp4dqhhSxlTuDBWsqWeacbkI3V0R55nMolDHjB32AUqFRA2Zxab3BlREhB-UbRu04M10GIAFslNR3M5J4iHTnHyBxQHL--FyrARPHq64nRZ7i8ylqMlw8rla5_Q_Rbp-6tOMePpmrqDiXwnzfwVl8og-k_bzyEYyXTxWo0L85YrxUgKaM2Hf2mF_Lrfz0KcbT2CIK18oFMZ0eVwKDZxXTwqCsNw8QDJm5RzJN3EyZtJJ1CvpeEPbqxwbtOjhgfvrbvEo53F4Y=s0-d "\int_{T_{1}}^{T_{F}}\frac{dQ_{1}}{T} + \int_{T_{2}}^{T_{F}}\frac{dQ_{2}}{T} + ... + \int_{T_{n}}^{T_{F}}\frac{dQ_{n}}{T} \geq 0")
Mas ![[;dQ=mc(dT);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uhQWc48GgEZ-OHeUEnnpZS2momEXNSBTCdzWwmEbexP7R4p-tnPYuhAfkiw8uPYL72A7AZIv2Bstkw337ieXPGAd_26EM=s0-d "dQ=mc(dT)")
. Assim:
. Assim:![[;mc\int_{T_{1}}^{T_{F}}\frac{dT}{T}+mc\int_{T_{2}}^{T_{F}}\frac{dT}{T}+...+mc\int_{T_{n}}^{T_{F}}\frac{dT}{T} \geq 0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uLQ9YKXehv9E6a94oSM5kAWgOwGCMJ23ANqTbin_XwhdToWEZzW3N7cpXuh3ym0uP3kUXAmlU3hkj_yo5M6M6s4VOmKgNbz0-tyLGcewhpkR-m5P2g8a3G2xcsrOL5lKYp3XRRR1n1dajVIiblNuuXfFuoEf3APOrsViP-H4gj3tSsZXzHaOn0k_St3cSIDf2s8dT2f9K7yObmtLnsHrjuX_LNHb9u7FX2MqEnFnECnWSbknvwklIccgvL05nhM8adKleOWyes-thczFdn4mmq8qPiTBk5DCKqhZ7vlbV3NxVjT5cTkJFnjBqDrpv7hkxAyHGaXcd9NQWoY99fyKlvjBSZEe9bbuaWVr8_=s0-d "mc\int_{T_{1}}^{T_{F}}\frac{dT}{T}+mc\int_{T_{2}}^{T_{F}}\frac{dT}{T}+...+mc\int_{T_{n}}^{T_{F}}\frac{dT}{T} \geq 0")
![[;mc[ln(\frac{T_{F}}{T_{1}})+ln(\frac{T_{F}}{T_{2}})+...+ln(\frac{T_{F}}{T_{n}})]\geq 0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uEWPKuoSc-65UGMYwsDJfhVLp7z8QzsWFwPT8SpapScraVL6JAJSQ1WrZ7C3845Sf2NHxeUkiwLjzMLhLprf9WGMymDiuS631VNfFYBSiO7hi5rN-ksln690C5rZtz3Gdbrm97Fo-W9d7sbPB2QZeCNrqmMPnXnlnmPNhFmIHxsUJZFwAAHiAZ6Ez5zC9VuU0xV_9EBNSWJsK7G_aTsPHl7ifjnS6r-X22C68Wu0CEf2AX3t4cY2BuX0LO2_vKJw40wuhCK_ndjlO3Ka8kH3moDtakHw=s0-d "mc[ln(\frac{T_{F}}{T_{1}})+ln(\frac{T_{F}}{T_{2}})+...+ln(\frac{T_{F}}{T_{n}})]\geq 0")
Das propriedades do logarítmo, temos:
![[;mc\ ln(\frac{T^{n}_{F}}{T_{1}T_{2}...T_{n}})\geq 0 \Rightarrow \frac{T^{n}_{F}}{T_{1}T_{2}...T_{n}} \geq 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sd7gyEz5wOT1VxdHE-wujsTr5uFtWhcs_MVPUeaG6WdwP1syUebUBb4VlY5VEHmxzhSwposBrO2H4WozSL-tVSEloN-7HraEh3kJbM2AkwG2iMGl7qw56R9LPCTcAJ48YCsptLsR01xSnpaiuep_92R3zkz-H8MN1YZHrutjWX2929z9KvyMme9rjkShirrl7e03ksn5hY8P6viU8gUO_Q6GCXZvANiymScpp7MmKjg075FmLKCGiL-lxSpmYRw6rNuWJBCQCK1CXtz77zuipGdSepdBl_U-GgD0CUyQJc2f7SOl5At9ZKEeh7cp_qWqayC_4hXTWZ0wq-4A=s0-d "mc\ ln(\frac{T^{n}_{F}}{T_{1}T_{2}...T_{n}})\geq 0 \Rightarrow \frac{T^{n}_{F}}{T_{1}T_{2}...T_{n}} \geq 1")
Com isso, chegamos a:
![[;T_{F} \geq \sqrt[n]{T_{1}T_{2}...T_{n}} \Rightarrow \frac{T_{1}+T_{2}+...+T_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{T_{1}T_{2}...T_{n}};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u9PsCJTzAFEfmJEF_K--jUMhEnPM_-gnLvLkK0BtuOZF_6LZUSpoeddmIqBg_7Zy1q6uRZYdu705K-tZI_ytbrrmAeTr0GV-SSeh10F62FkUl87eyGVnCqkQcS2HTNBpSKWUR4wstvCujIKTmRPi33Sr_Le0VxQ1PjzETdZ5hFTZ9O2P_7hA2JN00kN-bP5lvTSwOpZLQ10QsmfyVGw_FcgUHyvfS7tZdWpVZAiwgY861JUrYLQxTOKmOOANnMR0Ry7Fny7Jc4ojDGLxTFf16V9wJbvfDEVD2A6kTC95h-pMpYf1MO26OYDM_jbep1292mR39lPtsuLcrO5A=s0-d "T_{F} \geq \sqrt[n]{T_{1}T_{2}...T_{n}} \Rightarrow \frac{T_{1}+T_{2}+...+T_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{T_{1}T_{2}...T_{n}}")
Fique de olho nos próximos capitulos surpreendentes dessa série!
Referências bibliográficas:
Levi, Mark The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems, New Jersey: Princeton University Press, 1951.
Polya, George Mathematical and Plausible Reasoning: Induction and Analogy in Mathematics, New Jersey: Princeton University Press, 1954
Por esse caminho eu não conhecia, gostei muito dessa forma de provar a desigualdade AG. Parabéns pela postagem.
ResponderExcluirMuito legal o post! Aliás, se alguém ainda não viu, dê uma olhada no livro citado: "The Mathematical Mechanic".
ResponderExcluirAguardo pelos próximos episódios!
Obrigado, Paulo!
ResponderExcluirEsperamos que goste dos próximos.
Abraços e volte sempre.
Tiago, esse livro é realmente muito interessante e vai servir como uma das fontes para a nossa série.
ResponderExcluirNão deixe de olhar também o livro do Polya, é muito bom.
Abraços e volte sempre!