O novo membro da equipe Rodrigo Carlos Silva de Lima (Renji) elaborou uma excelente coleção de apostilas sobre somatórios que nosso leitor encontra gratuitamente aqui.
Os materiais abordam desde definições elementares a teoremas obscuros, tudo rigorosamente demonstrado, mas sem abrir mão da didática.
Alguns tópicos abordados:
- Apostila 1: Operadores, potência fatorial, definição de somatório, números de Stirling, primeiras técnicas, somas telescópicas, Teorema de Cantor, números de Bernoulli, soma de Euler-Maclaurin, números eulerianos, interpolação de Newton. (49 páginas)
- Apostila 2: Funções (fatorial, potência fatorial, Gamma, digamma), números harmônicos, soma por partes, somatórios por interpolação, somatório de funções polinomiais, recorrências, soma de inversos. (64 páginas)
- Apostila 3: Somatório envolvendo fatorial, outras propriedades de somatórios, a técnica de somatórios por partes, somas envolvendo números harmônicos. (24 páginas)
- Apostila 4: Inverso e integrais, somatórios e números complexos, o truque de Gauss, método de derivação para somatórios, método da função indeterminada, soma envolvendo repunit, método da diferença, somatório e logaritmo, somas de potências fatoriais, somatórios por reversão. (42 páginas)
- Apostila 5: Soma sobre conjuntos finitos, função beta e gamma, somas usando função beta, partições para somas, somas e funções piso e teto, manipulações básicas de somatórios, somatórios e recorrências, somatório e diferença, somando k², somatórios e desigualdades, somatório e congruência, somas por meio de operadores, bibliografia comentada. (44 páginas).
- Apostila 6: Somas de coeficientes binomiais, somatórios de coeficientes binomiais por absorção. (15 páginas)
- Apostila 7: Somatórios de funções trigonométricas e hiperbólicas, somatórios e números complexos. (47 páginas)
Mina de ouro para estudantes universitários e também para vestibulandos de alto nível. Vale a pena conferir!
Sugestões, críticas e demais comentários são bem vindos =]
![[;\Delta U_{int} = Q - W;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s4Me3bta6QCd-xeogjKiU3fOso4dJUncKLNzYhztr-OWZVCPuVJh8rLaV8uKCjeReb_hmM7QPddUG9bwdQn29I7EkHidhPhQ1-0cjIID2HUXbJC_KSpFYCZsS5ka6g=s0-d "\Delta U_{int} = Q - W")
![[;S_{B} - S_{A} = \int_{A}^{B}\frac{dQ}{T}\geq0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sMiCxQsUZmxV9nyuix-CMj_TJM67dCLmp-xLQnBByLj2moekQvS-K787osBNU5hvM0ZtUGVDiqj8b81yI6g23u1j7NV_2AgKu6KTiJDki2TMLywMb8nAdSGNGxlWPKHv8mvwu1cN-HeMEb7opkOU8Zs-otB4EeM0pbGrLWOR_NcHjjDPgidvii3Lt9Dg=s0-d "S_{B} - S_{A} = \int_{A}^{B}\frac{dQ}{T}\geq0")
![[;n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uS2k41_4a4hsRBiRtiuqyGz_paYO79szleqRalPyt_wMfNKrgHrkf39p7pptc6F8VjcokG-pTCqN4=s0-d "n")
recipientes idênticos de massa ![[;m;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t7FhhIsLaDlpN7EE8TuT4CASC6OYFnabcCKn6hp99ZYLuTiwcKOYLd-Z-Agh7CK5pqTl9vTnbkeQ=s0-d "m")
e calor específico ![[;c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tvotqwfhL2A6QpbE8Hkx-pY0RfUSEIdHGHNfgJZhRdtaCLuEXkFOQHNzUcXU_RnVJgvpcQ6LFnDMQ=s0-d "c")
. Pela Lei Zero da Termodinâmica, os corpos tendem ao equilíbrio térmico a uma temperatura ![[;T_{F};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vivzqB8eMJMLA3BHlH_YEiZTsLuSN-wTIs2x-B80wFuBZWiLqOzJr-JTcIXohPRT4a6JuT8QozneQE_cPB6BotAw=s0-d "T_{F}")
, em Kelvin (fig. 01).
![[;Q = 0 \Rightarrow Q_{1}+Q_{2}+...+Q_{n}=0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ujnshf4imSFi_VEvtWmSvp5XF5pvS4e3a4gc8VRZC-ytifswLDW7xb7tCPv2_0_UPxFHyvxWEM5sW2jOf7EZtU7grudwsBxQeHhUjAd24DeaJqudtqcjdF2ZRZk1uwcfgpNEqnrCw3tjl82gaAvDGSsfDLQ-2cNw=s0-d "Q = 0 \Rightarrow Q_{1}+Q_{2}+...+Q_{n}=0")
![[;mc(T_{F}-T_{1})+mc(T_{F}-T_{2})+...+mc(T_{F}-T_{n})=0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uZXGqUvBWYLOw9EYhmaN5JWIxJnpLwh3XeM0QaudLwCODdvDEGY2fOcjO6l87dykncJH-gN_CKyie43Quqa0H2rCAcYj44NN7ZQj6e96eWQlsBfYHoyGFf_ViaD77yvGjn01pxXYnxqguwZmqYna9Zn2Yr2A_5YwEBvzE76qqERHqQmjKOp05i-mXcZctsCObG=s0-d "mc(T_{F}-T_{1})+mc(T_{F}-T_{2})+...+mc(T_{F}-T_{n})=0")
![[;T_{F}=\frac{T_{1}+T_{2}+...+T_{n}}{n};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uvfEsLY6tKfkOx8gCGdMNbeKP0S-zrpFHL8bTgicTXk-S3ofSPoX0Yb1hhDwtIsFkW5t2bH9Uc8g2ACGFKGGyyJnJ_2wgS6OyFP5WJRvz3dqY_s3zKPNqAxGStq_wzTlZSyv4UjEmgT6TvVKMGOITJqlcJD7-ZWw=s0-d "T_{F}=\frac{T_{1}+T_{2}+...+T_{n}}{n}")
![[;\Delta S_{sist} = \Delta S_{1}+ \Delta S_{2}+...+ \Delta S_{n} \geq 0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ux1oLir6EjB7uvob6-16t7RYrPniACCttXX-Roo5b4XaXne4X72bXOXNEjEtK555JMb3wX9-QHIXWdO3vyKAjKgXg4z2KMw15fH3CkwSItivHNYv_NCfJL4IEhNpWZxLWY96IP7cHK4BHZCP9K54BhY-Ju6f9Tx0o48FKHgH9eAhkMgdXpgHU2b9pSvHbbeumQ2b62kb3ZTRq4LGCUYohXClWD58ed4MjLtV-2=s0-d "\Delta S_{sist} = \Delta S_{1}+ \Delta S_{2}+...+ \Delta S_{n} \geq 0")
![[;\int_{T_{1}}^{T_{F}}\frac{dQ_{1}}{T} + \int_{T_{2}}^{T_{F}}\frac{dQ_{2}}{T} + ... + \int_{T_{n}}^{T_{F}}\frac{dQ_{n}}{T} \geq 0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sZuhVLXdNS1jD-RKSuv9D2JD6np__4s12S0QN5PrBWKI3RfRv4eqOaLQuF-_ZnVIFb-IyR9kgdr-cYOrkd69Z_eqR_KtyJ5S034Pbtvd3paR4lDpU2uCIsHBwmOkLJI1EwvF31VmFFmh5BsCXkOqsCcZV_qVjIU4HvvgT7ZT00KEkbsHKGpsUgY1ST7injWxEjWVhElKYmSY7QM8oTKJWtyxgsYr5Y-b6Qasg2c3-wDaGrhNvtOOsmJ8fr1XdmA3ORqYYWKSrOzMIg1V6x_OEF-v_5O4DktknNq7SgpWKAyVIEADNyhR7i1-1VloJQE08MHz2t-j5cK1T8CG6wFqu1BWLC3nqd0c05NsCwP2asldLWQQcT1Tj1WTBsvkaKGgnNIIRwvS7Trz8OvHHx2kw=s0-d "\int_{T_{1}}^{T_{F}}\frac{dQ_{1}}{T} + \int_{T_{2}}^{T_{F}}\frac{dQ_{2}}{T} + ... + \int_{T_{n}}^{T_{F}}\frac{dQ_{n}}{T} \geq 0")
![[;dQ=mc(dT);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vQxEepBaovEbzVMBjLaVAVZsdxFa9EkEZE5KS1KheHJwvPbvJPszt7APqtVQpI2hRlQTHbTbogSYxGgfH7Qf1vrrx0Z6c=s0-d "dQ=mc(dT)")
. Assim:![[;mc\int_{T_{1}}^{T_{F}}\frac{dT}{T}+mc\int_{T_{2}}^{T_{F}}\frac{dT}{T}+...+mc\int_{T_{n}}^{T_{F}}\frac{dT}{T} \geq 0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sTej5N7-yHZczjGgR_a_o65V_su0TEIc4ZrZu0qUfX6klfbDOXvH1voYVZAMn0RXGthogKv30Z-k50iEcVVsB3Dmku0D4OEbq7gFdT1TFxEUXCEX640tIfXZzaitgDOwAPtmsbdMVmcoUNB_wZiu0OAvIaUL0aS0ButqHrjGDOvehguk9FzLPKAx4zaqX-TvCrnsv1xSuTqXuKe4mNWnqrbuWlK__Lqky3-7uT6gCXiZoK-0aaU0l37ktfuErAp3VVEVFH-FbHxBSUBM0X3uU86V0_aShnem1pJYNEiY4m2Tz8UKT95iQnaC9D5ikNgMTvg2DKpX-NVeZvo5FOqd4HgMk8oVaf9nN-I3a_=s0-d "mc\int_{T_{1}}^{T_{F}}\frac{dT}{T}+mc\int_{T_{2}}^{T_{F}}\frac{dT}{T}+...+mc\int_{T_{n}}^{T_{F}}\frac{dT}{T} \geq 0")
![[;mc[ln(\frac{T_{F}}{T_{1}})+ln(\frac{T_{F}}{T_{2}})+...+ln(\frac{T_{F}}{T_{n}})]\geq 0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vLoQZ-_dmdbkUn8jIn4pMaWgPLSPFv_NzSO1efeq_zix2rTLbwSvedF_hBSgY53gfs7f35qTIplBnqE4ytOk4Xhy0JKCEH31hvaVcARR5lTLwbCt3nWO_UoOevu1OYQRMerZ3YpGeMvCQjpy0aRKdHhEraFLAQcm2CfQaWf5VqW9lbaaHmWMcirwa_XUqeV9lgfbv5XUSpKNFEpqPwDYwNybsqpxLJcllvrdQTup4zi-wXtXurnyl6f8AfL-yvvcGkl_P4mMWQYOLQ4vz8T5stRU0wNg=s0-d "mc[ln(\frac{T_{F}}{T_{1}})+ln(\frac{T_{F}}{T_{2}})+...+ln(\frac{T_{F}}{T_{n}})]\geq 0")
![[;mc\ ln(\frac{T^{n}_{F}}{T_{1}T_{2}...T_{n}})\geq 0 \Rightarrow \frac{T^{n}_{F}}{T_{1}T_{2}...T_{n}} \geq 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tD8e_szRF8gVXjf57Xg65C-LMH4XdJiF7N7d9sjbzBvVzM9iEdwFeHQw4g_Va68SalV6dd6ueUA7NyP_hQBw2IEOPDD1qDQdvuFyyGvfHUVOu0vZc_JG0-m0qluX_4K18N4L1k81b5C_rR6mrUwGrbgzXg7MDc0PaS7hWXZaOowxrP6cUqwJEOpmxBqjuu4uYpFeOEWiE00CR5-eV5jSm2ukVqPfQQ7bDQkFLgp9XYHim7tm9uXrqfej_klPjCXuxD_hdaQLO2jnoAaS2rcTzWzNqqLMoNe1fg99JAdNrcZjRjg_zplf1W1EluH_RTaWIA06jSHb7rwTWWDw=s0-d "mc\ ln(\frac{T^{n}_{F}}{T_{1}T_{2}...T_{n}})\geq 0 \Rightarrow \frac{T^{n}_{F}}{T_{1}T_{2}...T_{n}} \geq 1")
![[;T_{F} \geq \sqrt[n]{T_{1}T_{2}...T_{n}} \Rightarrow \frac{T_{1}+T_{2}+...+T_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{T_{1}T_{2}...T_{n}};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v_AceSNdDx750VLH6lUBPbTIe7KNHmG88_gSudls44ECRWU7Mu-tc6rR27kOhgUjsaiKisZvSZK0NchNJI7NfdO9b7D91UPCz7BUN4V3OEc8QPSYgLrc3bJNy-hWALhuhSs9iy43qHAO9NUzqYOe7yvBJ3yWz3Y5Mb1hgX1gync0nTxxNM0UG51IxNxUve-vDlzQBMWMCJ-skAVh9yGZfLnuWUX-ISolRTLaVqgzZCInsWmU4AG9GcrVxsewx8eY73hpw580k19AMcm_GhWizb2tmfIz25EQtGY-zUG-BS76L1yCjA2ajEQb-WWNvMCye00LRc9ATUdVbsyw=s0-d "T_{F} \geq \sqrt[n]{T_{1}T_{2}...T_{n}} \Rightarrow \frac{T_{1}+T_{2}+...+T_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{T_{1}T_{2}...T_{n}}")
