Dados de Deus: julho 2011

Conta-se que o grande matemático amador Pierre Fermat (sim, o mesmo do Último Teorema) certa vez desafiou Evangelista Torricelli (sim, o mesmo da experiência da coluna de mercúrio e da equação da cinemática) com a seguinte questão:

Encontre o ponto cuja soma das distâncias aos vértices de um triângulo é mínima.

Vicenzo Viviani (1622 - 1703) foi aluno de Torricelli, o qual, em uma das várias soluções, utilizou o teorema de seu pupilo, assunto de nosso post. O ponto que resolve o problema proposto hoje é conhecido como ponto de Fermat e também possui muitas aplicações interessantes.

Teorema 1 (Viviani) A soma das distâncias aos lados de um triângulo equilátero de um ponto pertencente ao seu interior ou a seus lados é constante e igual à medida da altura do triângulo.

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No applet acima que criamos, os segmentos em azul, vermelho e verde são as distâncias do ponto aos lados do triângulo. Clique e arraste $[;P;]$ ou $[;B;]$ com o botão direito do mouse para notar que a soma dos segmentos assinalados permanece constante quando o ponto está dentro do triângulo ou sobre um de seus lados.

O Teorema de Viviani pode ser facilmente "demonstrado" seguindo um simples esquema sem uma única palavra:

Os triângulos verdes são construídos traçando-se paralelas aos lados do $[;\Delta ABC;]$ pelo ponto $[;P;]$ e os segmentos em vermelho são suas alturas. Note que na segunda figura um dos triângulos é transladado, ao passo que na terceira rotacinamos as figuras e chegamos ao resultado desejado.

Apresentamos agora uma prova mais rigorosa:

Seja $[;P;]$ um ponto pertencente ao interior ou aos lados do $[;\Delta ABC;]$ equilátero. Traçando os segmentos $[;IL;]$ paralelo a $[;AC;]$ , $[;JM;]$ paralelo a $[;BC;]$ e $[;KN;]$ paralelo a $[;AB;]$ , temos que $[;LPK\sim MNP\sim PIJ\sim ABC;]$ . Assim, sendo $[;h_1;]$ , $[;h_2;]$ , $[;h_3;]$ , $[;h;]$ e $[;L;]$ as medidas das alturas dos triângulos $[;\Delta LPK, \Delta MNP, \Delta PIJ, \Delta ABC;]$ e a medida do lado do $[;\Delta ABC;]$ , respectivamente:

$[;\frac{h_1}{h} = \frac{LK}{L},\ \ \ \ \frac{h_2}{h} = \frac{MN}{L},\ \ \ \ \frac{h_3}{h} = \frac{IJ}{L};]$

Somando as três equações acima, obtemos:

$[;\frac{h_1}{h} + \frac{h_2}{h} + \frac{h_3}{h} = \frac{IJ}{L} + \frac{LK}{L} + \frac{MN}{L};]$

Como $[;MN = MP = CL;]$ e $[;IJ = PJ = KB;]$ ( $[;MPLC;]$ e $[;JPKB;]$ são paralelogramos):

$[;MN + LK + IJ = LK + CL + KB = L;]$

Assim:

$[;\frac{h_1}{h} + \frac{h_2}{h} + \frac{h_3}{h} = 1 \Rightarrow h_1 + h_2 + h_3 = h;]$ ■

Mas talvez a demonstração mais simples seja a que segue abaixo.

Seguindo a mesma notação da última prova:

$[;S_{ABC}=S_{APC}+S_{APB}+S_{BPC};]$
$[;\frac{l.h}{2} = \frac{l.h_1}{2} + \frac{l.h_2}{2} + \frac{l.h_3}{2};]$

$[;h = h_1 + h_2 + h_3;]$ ■

Utilizando o racicínio acima podemos extender o teorema de Viviani para outras classes de objetos, como polígonos. É fácil provar a chamada propriedade CVS (Constant Viviani Sum) para polígonos regulares, mas deixamos como desafio para o leitor demonstrar que se um polígono possui todos seus ângulos internos de mesma medida, então goza da propriedade CVS.

Esse teorema é tão interessante que se expande para figuras espaciais, de modo que todos os poliedros regulares possuem a propriedade CVS. Será que o teorema é válido para dimensões mais altas?

Solução do desafio de Fermat

Vejamos agora uma solução de Torricelli para o desafio de Fermat utilizando uma aplicação do Teorema de Viviani.

Seja $[;F;]$ um ponto pertencente ao interior do $[;\Delta ABC;]$ tal que $[;\angle AFC = \angle BFC = \angle AFB = 120^{o};]$ . Sem provar a existência de $[;F;]$ , Torricelli mostrou que este ponto satisfaz a condição do problema.

Traçando perpendiculares a $[;AF;]$ , $[;BF;]$ e $[;CF;]$ pelos respectivos vértices, formamos o $[;\Delta PQR;]$ . Como $[;\angle FAR + \angle FCR = 180^{o};]$ , o quadrilátero $[;AFCR;]$ é inscritível e $[;\angle ARC = 60^{o};]$ . Analogamente, $[;\angle BQC = \angle APB = 60^{o};]$ e $[;\Delta PQR;]$ é equilátero.

Tome agora o ponto $[;F'\neq F;]$ pertencente ao interior do $[;\Delta ABC;]$ e sejam $[;A', B';]$ e $[;C';]$ suas projecões sobre os lados $[;PR;]$ , $[;PQ;]$ e $[;QR;]$ , respectivamente. Como $[;F'A;]$ é hipotenusa do $[;\Delta FAA';]$ , $[;F'A>F'A';]$ . Analogamente, $[;F'B>F'B';]$ e $[;F'C>F'C';]$ . Portanto:

$[;F'A+F'B+F'C>F'A'+F'B'+F'C';]$

Pelo Teorema de Viviani, $[;F'A' + F'B' + F'C' = FA+FB+FC = H;]$ , em que $[;H;]$ é a medida da altura do $[;\Delta PQR;]$ . Logo:

$[;F'A+F'B+F'C>FA+FB+FC;]$ [CQD]

Em outra solução, Torricelli percebeu que as circunferências circunscritas dos triângulos equiláteros construídos externamente sobre cada um dos lados de um triângulo encontram-se exatamente no ponto de Fermat, como ficou conhecido.

Referências bibliográficas:

COXETER, H. S. M, GREITZER, S. L. Geometry Revisited. 10a ed. Washington, D.C.:The Mathematical Association of America, 1967.

NELSEN, Roger B. Proofs without Words 6a ed. Washington, D.C.: The Mathematical Association of America, 1993.
Kawasak, Ken-ichiroh. Proof Without Words: Viviani’s Theorem, Mathematics Magazine, Vol. 78, No. 3 (2005), pp. 213.
BOGOMOLNY, A. "Viviani's Theorem." http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Viviani.shtml.
ABBOUD, Elias "On Viviani’s Theorem and its Extensions" http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0903/0903.0753v3.pdf
"Equilateral Triangles and 'Viviani's Theorem'" http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Su07/Gilbert/EMAT%206690/Viviani's%20Theorem/VivianiEssay.html

PS.: Agradecimentos ao leitor Tharles Conegundes pela correção da figura anterior.

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quarta-feira, 13 de julho de 2011

Teorema de Viviani e o desafio de Fermat