Dados de Deus: maio 2011

terça-feira, 31 de maio de 2011

10° desafio

Os eixos de simetria de dois cilindros circulares retos, cujos raios das bases valem 1 cm intersectam-se perpendicularmente. Qual o volume da região em comum?

Envie sua solução para dadosdedeus@gmail.com. A primeira resolução correta será publicada no blog!

sábado, 28 de maio de 2011

Demonstrações matemáticas por... física!? (parte I)

O Dados de Deus está inovando com uma série de postagens sobre demonstrações de teoremas utilizando conceitos físicos. Sim, sim, isso é possível!

Nessa primeira parte apresentaremos a famosa desigualdade das médias (clique aqui) utilizando conceitos básicos de termodinâmica. Vejamos:

Breve revisão...

Lei Zero da Termodinâmica: Em todo sistema isolado, haverá um estado particular caracterizado pela constância de todas as grandezas termodinâmicas mensuráveis determinado estado de equilíbrio termodinâmico.

1a Lei da Termodinâmica: A variação da energia interna de um sistema é igual à diferença entre o calor e o trabalho trocados pelo sistema com o meio exterior.

Matematicamente, esse enunciado é equivalente a:

$[;\Delta U_{int} = Q - W;]$

2a Lei da Termodinâmica: A entropia de um sistema isolado nunca decresce.

Matematicamente, esse enunciado é equivalente a (para um sistema isolado):

$[;S_{B} - S_{A} = \int_{A}^{B}\frac{dQ}{T}\geq0;]$

A demonstração

Considere agora um sistema isolado composto por $[;n;]$ recipientes idênticos de massa $[;m;]$ e calor específico $[;c;]$ . Pela Lei Zero da Termodinâmica, os corpos tendem ao equilíbrio térmico a uma temperatura $[;T_{F};]$ , em Kelvin (fig. 01).

Durante esse processo, os recipientes com temperatura maior que $[;T_{F};]$ perdem calor para aqueles com tempetura inferior a $[;T_{F};]$ . De acordo com a 1ª Lei da Termodinâmica, para um sistema isolado:

$[;Q = 0 \Rightarrow Q_{1}+Q_{2}+...+Q_{n}=0;]$

$[;mc(T_{F}-T_{1})+mc(T_{F}-T_{2})+...+mc(T_{F}-T_{n})=0;]$

$[;T_{F}=\frac{T_{1}+T_{2}+...+T_{n}}{n};]$

Pela 2ª Lei da Termodinâmica:

$[;\Delta S_{sist} = \Delta S_{1}+ \Delta S_{2}+...+ \Delta S_{n} \geq 0;]$

Logo:

$[;\int_{T_{1}}^{T_{F}}\frac{dQ_{1}}{T} + \int_{T_{2}}^{T_{F}}\frac{dQ_{2}}{T} + ... + \int_{T_{n}}^{T_{F}}\frac{dQ_{n}}{T} \geq 0;]$

Mas $[;dQ=mc(dT);]$ . Assim:

$[;mc\int_{T_{1}}^{T_{F}}\frac{dT}{T}+mc\int_{T_{2}}^{T_{F}}\frac{dT}{T}+...+mc\int_{T_{n}}^{T_{F}}\frac{dT}{T} \geq 0;]$

$[;mc[ln(\frac{T_{F}}{T_{1}})+ln(\frac{T_{F}}{T_{2}})+...+ln(\frac{T_{F}}{T_{n}})]\geq 0;]$

Das propriedades do logarítmo, temos:

$[;mc\ ln(\frac{T^{n}_{F}}{T_{1}T_{2}...T_{n}})\geq 0 \Rightarrow \frac{T^{n}_{F}}{T_{1}T_{2}...T_{n}} \geq 1;]$

Com isso, chegamos a:

$[;T_{F} \geq \sqrt[n]{T_{1}T_{2}...T_{n}} \Rightarrow \frac{T_{1}+T_{2}+...+T_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{T_{1}T_{2}...T_{n}};]$

Fique de olho nos próximos capitulos surpreendentes dessa série!

Referências bibliográficas:

Levi, Mark The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems, New Jersey: Princeton University Press, 1951.

Polya, George Mathematical and Plausible Reasoning: Induction and Analogy in Mathematics, New Jersey: Princeton University Press, 1954

quarta-feira, 25 de maio de 2011

1o simulado IME (Matemática)

Damos início ao tão aguardado simulado estilo IME. Seguimos os padrões dos demais: formatação preservada, questões ao nível e, lógico, 100% gratuito. Confiram!

Em breve as resoluções...

Abraços e bons estudos!

PS.: Em breve estaremos no Facebook e no Twitter. Sigam-nos, os bons! =]

segunda-feira, 23 de maio de 2011

Solução do 9° desafio

Parabenizamos a:

Farley Soares

Carlos Eduardo Aguiar Paiva

Danilo Venancio

Warles Ribeiro Neto

por terem enviado suas soluções. Como recebemos muitos e-mails e algumas respostas são semelhantes, reproduzimos aqui apenas as 2 primeiras recebidas. Para visualizar as demais, acesse os links correspondentes no fim do post.

Obs.: Algumas pequenas alterações foram feitas.

1a solução (Farley Soares):

Suponhamos que $[;\cos(1^{o});]$ , $[;\cos(a);]$ e $[;\cos(a-1);]$ sejam racionais, então:

$[;\cos(a+1) = \cos(a) \cos(1^{o}) - \sin(1^{o}) \sin(a);]$ (I)

Mas também temos que:

$[;\sin(a) \sin(1^{o}) = \frac{\cos(a-1) - cos(a+1)}{2};]$ (II)

De (I) e (II) vem:

$[;\cos(a+1) = \cos(a) \cos(1^{o}) - \frac{cos(a-1)-cos(a+1)}{2};]$

Como o conjunto dos racionais é fechado em relação à soma e ao produto, $[;\cos(a+1) \in \mathbb{Q};]$

Assim, temos pela hipótese que (podemos utilizar o Princípio da Indução Finita para demonstrar o que segue):

$[;\cos(0^{o}),\ \cos(1^{o}) \in \mathbb{Q} \Rightarrow \cos(2^{o}) \in \mathbb{Q};]$

$[;\cos(1^{o}),\ \cos(2^{o}) \in \mathbb{Q} \Rightarrow \cos(3^{o}) \in \mathbb{Q};]$

$[;\cos(2^{o}),\ \cos(3^{o}) \in \mathbb{Q} \Rightarrow \cos(4^{o}) \in \mathbb{Q};]$

$[;\vdots;]$

$[;\cos(28^{o}),\ \cos(29^{o}) \in \mathbb{Q} \Rightarrow \cos(30^{o}) \in \mathbb{Q};]$

Como $[;\cos(30^{o});]$ é irracional, chegamos a um absurdo, o que implica em nossa premissa estar incorreta. Fica provado, então, que $[;\cos({1^{o}});]$ é irracional.

2a solução (Carlos Eduardo Aguiar Paiva):

Sabe-se que:

$cos3^{\circ} = \frac{\sqrt2-\sqrt6-\sqrt{10}+\sqrt{30}+(2+2\sqrt3)\sqrt{5+\sqrt5}}{16}$

Da trigonometria:

$[;\cos(3x) = 4\cos^{3}(x)-3\cos(x);]$

$[;\cos(3^{o})=4cos^{3}(1^{o})-3\cos(1^{o});]$

Logo:

$cos3^{\circ} = \frac{\sqrt2-\sqrt6-\sqrt{10}+\sqrt{30}+(2+2\sqrt3)\sqrt{5+\sqrt5}}{16}$ $[;=\ 4cos^{3}(1^{o})-cos(1^{o});]$

Como o conjunto dos racionais é fechado em relação à soma e ao produto e $[;\cos(3^{o});]$ é evidentemente irracional, $[;cos(1^{o});]$ $[;\in \mathbb{I};]$ .

Nota:

$[;\cos(3^{o})=\cos(18^{o}-15^{o});]$

$[;\cos({18}^{o}) = \cos{(36/2)}^{o};]$ e $[;\cos{15}^{o} = \cos({45}^{o}-30^{o});]$

Os cossenos de 30°, 36° e 45° são conhecidos. (clique aqui) Após uma trabalhosa manipulação algébrica, chega-se ao valor de $[;\cos(3^{o});]$ acima.

3a solução (Danilo Venancio)

4a solução (Warles Ribeiro Neto)

sábado, 21 de maio de 2011

Como calcular sin18° ?

Apresentaremos duas formas de calcular $[;\sin{18^{o}};]$ , uma geométrica e outra algébrica. O s valores do seno e cosseno desse ângulo podem ser muito úteis na resolução de problemas. Pois bem, vamos lá!

Método geométrico:

Seja ABCDE um pentágono regular de lado unitário e O o centro de sua circunferência circunscrita. Sejam ainda Q o ponto correspondente à intersecção entre $[;\overline{BE};]$ e $[;\overline{AO};]$ e seja D a medida da diagonal $[;\overline{(BE)};]$ .

ABCDE regular $[;\Rightarrow;]$ $[;\angle ABC = 108^{o};]$ .

Por simetria, $[;m(\overline{BQ}) = m(\overline{EQ}) = m(\overline{\frac{BE}{2}});]$ . Logo $[;\angle ABQ = 36^{o};]$ , $[;\angle BAQ = 54^{o};]$ e $[;\angle AQB = 90^{o};]$ .

Tome o ponto $[;P \in \overline{AC};]$ tal que $[;\angle ABP = 36^{o};]$ (i.e. $[;P\in \overline{BE};]$ ) e $[;\angle CBP = 108^{o}-36^{o} = 72^{o};]$ .

$[;\Delta ABC;]$ isósceles $[;\Rightarrow \angle BAC = 36^{o};]$ e $[;\angle BCA = 36^{o};]$ . Logo, $[;\angle PAO = 54^{o} - 18^{o};]$ .

 (Triângulo aúreo).

 isósceles

$[;\Delta ABP;]$ isósceles $[;\Rightarrow m(\overline{AP}) = m(\overline{BP});]$

$[;\Delta ABP;]$ isósceles $[;\Rightarrow m(\overline{AP})=m(\overline{BP})=D-1;]$

Mas $[;m(\overline{PQ}) = m(\overline{BQ}) - m(\overline{BP}) = \frac{D}{2} - (D - 1);]$

Logo:

$[;\sin{18^{o}} = \frac{m(\overline{PQ})}{m(\overline{AP})} = \frac{1-\frac{D}{2}}{D-1} = \frac{sqrt{5} - 1}{4};]$

Método algébrico:

Note que $[;\sin(2\ .\ 18^{o})=\cos(3\ .\ 18^{o});]$ .

Vamos encontrar as soluções da equção trigonométrica:

$[;\sin(2x)=\cos(3x);]$

$[;2\sin(x)\cos(x)=\cos(2x)\cos(x)-2\sin^{2}(x)\cos(x);]$

$[;\cos(x)[2\sin(x)-\cos(2x)+2\sin^{2}(x)]=0;]$

$[;cos(x)[4\sin^{2}(x)+2\sin(x)-1]=0;]$

Com isso concluimos que as soluções ocorrem para $[;\cos(x)=0;]$ , $[;\sin(x)=\frac{\sqrt{5}-1}{4};]$ e $[;\sin(x)=\frac{-\sqrt{5}-1}{4};]$ . Como já vimos que $[;x=18^{o};]$ é solução e $[;cos(18^{o})\neq 0;]$ e $[;\sin(18^{o})\geq 0;]$ , temos que:

$[;sin(18^{o})=\frac{\sqrt{5}-1}{4};]$

Existem diversas outras maneiras de se chegar a esse resultado, mas consideramos as duas acima bastante interessantes.

Referências blibliográficas:

Notas de aulas dos professores Carlos Nehab e Carlos Alberto Victor.

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