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"Deus não joga dados..." - A.Einstein

quarta-feira, 13 de julho de 2011

Teorema de Viviani e o desafio de Fermat

Conta-se que o grande matemático amador Pierre Fermat (sim, o mesmo do Último Teorema) certa vez desafiou Evangelista Torricelli (sim, o mesmo da experiência da coluna de mercúrio e da equação da cinemática) com a seguinte questão:

Encontre o ponto cuja soma das distâncias aos vértices de um triângulo é mínima.

Vicenzo Viviani (1622 - 1703) foi aluno de Torricelli, o qual, em uma das várias soluções, utilizou o teorema de seu pupilo, assunto de nosso post. O ponto que resolve o problema proposto hoje é conhecido como ponto de Fermat e também possui muitas aplicações interessantes. 

Teorema 1 (Viviani) A soma das distâncias aos lados de um triângulo equilátero de um ponto pertencente ao seu interior ou a seus lados é constante e igual à medida da altura do triângulo.



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No applet acima que criamos, os segmentos em azul, vermelho e verde são as distâncias do ponto aos lados do triângulo. Clique e arraste [;P;] ou [;B;] com o botão direito do mouse para notar que a soma dos segmentos assinalados permanece constante quando o ponto está dentro do triângulo ou sobre um de seus lados.

O Teorema de Viviani pode ser facilmente "demonstrado" seguindo um simples esquema sem uma única palavra:



Os triângulos verdes são construídos traçando-se paralelas aos lados do [;\Delta ABC;] pelo ponto [;P;] e os segmentos em vermelho são suas alturas. Note que na segunda figura um dos triângulos é transladado, ao passo que na terceira rotacinamos as figuras e chegamos ao resultado desejado.

Apresentamos agora uma prova mais rigorosa:


Seja [;P;] um ponto pertencente ao interior ou aos lados do [;\Delta ABC;] equilátero. Traçando os segmentos [;IL;] paralelo a [;AC;], [;JM;] paralelo a [;BC;] e [;KN;] paralelo a [;AB;], temos que [;LPK\sim MNP\sim PIJ\sim ABC;]. Assim, sendo [;h_1;], [;h_2;], [;h_3;], [;h;] e [;L;] as medidas das alturas dos triângulos [;\Delta LPK, \Delta MNP, \Delta PIJ, \Delta ABC;] e a medida do lado do [;\Delta ABC;], respectivamente:

[;\frac{h_1}{h} = \frac{LK}{L},\ \ \ \ \frac{h_2}{h} = \frac{MN}{L},\ \ \ \ \frac{h_3}{h} = \frac{IJ}{L};]

Somando as três equações acima, obtemos:

[;\frac{h_1}{h} + \frac{h_2}{h} + \frac{h_3}{h} = \frac{IJ}{L} + \frac{LK}{L} + \frac{MN}{L};]

Como [;MN = MP = CL;] e [;IJ = PJ = KB;] ([;MPLC;] e [;JPKB;] são paralelogramos):

[;MN + LK + IJ = LK + CL + KB = L;]

Assim:

[;\frac{h_1}{h} + \frac{h_2}{h} + \frac{h_3}{h} = 1 \Rightarrow h_1 + h_2 + h_3 = h;] 

Mas talvez a demonstração mais simples seja a que segue abaixo.


Seguindo a mesma notação da última prova:

[;S_{ABC}=S_{APC}+S_{APB}+S_{BPC};] 
[;\frac{l.h}{2} = \frac{l.h_1}{2} + \frac{l.h_2}{2} + \frac{l.h_3}{2};]
[;h = h_1 + h_2 + h_3;] 
 
Utilizando o racicínio acima podemos extender o teorema de Viviani para outras classes de objetos, como polígonos. É fácil provar a chamada propriedade CVS (Constant Viviani Sum) para polígonos regulares, mas deixamos como desafio para o leitor demonstrar que se um polígono possui todos seus ângulos internos de mesma medida, então goza da propriedade CVS.

Esse teorema é tão interessante que se expande para figuras espaciais, de modo que todos os poliedros regulares possuem a propriedade CVS. Será que o teorema é válido para dimensões mais altas?



Solução do desafio de Fermat


Vejamos agora uma solução de Torricelli para o desafio de Fermat utilizando uma aplicação do Teorema de Viviani.

Seja [;F;] um ponto pertencente ao interior do [;\Delta ABC;] tal que [;\angle AFC = \angle BFC = \angle AFB = 120^{o};]. Sem provar a existência de [;F;], Torricelli mostrou que este ponto satisfaz a condição do problema.
Traçando perpendiculares a [;AF;], [;BF;] e [;CF;] pelos respectivos vértices, formamos o [;\Delta PQR;]. Como [;\angle FAR + \angle FCR = 180^{o};], o quadrilátero [;AFCR;] é inscritível e [;\angle ARC = 60^{o};]. Analogamente, [;\angle BQC = \angle APB = 60^{o};] e [;\Delta PQR;] é equilátero.
Tome agora o ponto [;F'\neq F;]pertencente ao interior do [;\Delta ABC;] e sejam [;A', B';] e [;C';] suas projecões sobre os lados [;PR;], [;PQ;] e [;QR;], respectivamente. Como [;F'A;] é hipotenusa do [;\Delta FAA';], [;F'A>F'A';]. Analogamente, [;F'B>F'B';] e [;F'C>F'C';]. Portanto:

[;F'A+F'B+F'C>F'A'+F'B'+F'C';]

Pelo Teorema de Viviani, [;F'A' + F'B' + F'C' = FA+FB+FC = H;], em que [;H;] é a medida da altura do [;\Delta PQR;]. Logo:


[;F'A+F'B+F'C>FA+FB+FC;] [CQD]

Em outra solução, Torricelli percebeu que as circunferências circunscritas dos triângulos equiláteros construídos externamente sobre cada um dos lados de um triângulo encontram-se exatamente no ponto de Fermat, como ficou conhecido.




Referências bibliográficas:

COXETER, H. S. M, GREITZER, S. L. Geometry Revisited. 10a ed. Washington, D.C.:The Mathematical Association of America, 1967.
NELSEN, Roger B. Proofs without Words 6a ed. Washington, D.C.: The Mathematical Association of America, 1993.
Kawasak, Ken-ichiroh. Proof Without Words: Viviani’s Theorem, Mathematics Magazine, Vol. 78, No. 3 (2005), pp. 213.
BOGOMOLNY, A. "Viviani's Theorem." http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Viviani.shtml.
ABBOUD, Elias "On Viviani’s Theorem and its Extensions" http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0903/0903.0753v3.pdf
"Equilateral Triangles and 'Viviani's Theorem'" http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Su07/Gilbert/EMAT%206690/Viviani's%20Theorem/VivianiEssay.html

PS.: Agradecimentos ao leitor Tharles Conegundes pela correção da figura anterior.