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"Deus não joga dados..." - A.Einstein

terça-feira, 15 de março de 2011

Integral de secante: uma prova rápida

Vamos mostrar um jeito simples e elegante de calcularmos:
[;\int sec(x)dx;]

[;\int sec(x)\frac{(sec(x)+tan(x))}{(sec(x)+tan(x))}dx;]

[;\int \frac{(sec^2(x) + sec(x)tan(x))}{sec(x)+tan(x)}dx;]

Note que o numerador é a derivada do denominador. Chamando [;u=sec(x)+tan(x);]:

[;\int\frac{du}{u}=ln(|u|)+C;]

Logo:

[;\int sec(x)dx = ln(|sec(x)+tan(x)|) + C;]

7 comentários:

  1. só nao entendi porque cargas d'água vc multiplicou a sec(x) por sec(x)+tg(x)/sec(x)+tg(x)............... sei que nao mudaria em nada a equaçao, pq a divisao daria 1.. mas e se eu substituisse por, sei la, sec³(x), daria a mesma resposta? acho q nao...

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  2. Rafael, isto é um 'artifício algébrico' clássico.

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  3. Rafael, efetuou-se essa multiplicação justamente para que aparecesse no numerador a derivada do denominador, tornando trivial a substituição.

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  4. Obrigado. Estava agarrado nessa integral.

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  5. Ele usou pq não sabe fazer de outra maneira. É pegar o guidorizzi e vai estar lá essa mesma coisa

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  6. Esse artifício é muito manjado. Tá muito direto e não estimula realmente visualizar de onde vem o resultado. Experimenta substituir sec x por 1/cos x e então multiplica a fração por (cosx/cosx) e depois vai utilizando as identidades trigonométricas. Os cálculos restantes estimulam a relembrar possíveis propriedades esquecidas de logaritmos.

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    1. Tal artifício realmente pode parecer um caminho simplificado, mas é a mesma lógica matemática por trás de outros importantes aspectos. Se você notar, quem descobriu isso provavelmente notou que a soma da derivada da secante e a derivada da tangente era igual a soma das duas vezes a secante e dai notou isso.

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