Teorema de Viviani e o desafio de Fermat

Conta-se que o grande matemático amador Pierre Fermat (sim, o mesmo do Último Teorema) certa vez desafiou Evangelista Torricelli (sim, o mesmo da experiência da coluna de mercúrio e da equação da cinemática) com a seguinte questão:

Encontre o ponto cuja soma das distâncias aos vértices de um triângulo é mínima.

Vicenzo Viviani (1622 - 1703) foi aluno de Torricelli, o qual, em uma das várias soluções, utilizou o teorema de seu pupilo, assunto de nosso post. O ponto que resolve o problema proposto hoje é conhecido como ponto de Fermat e também possui muitas aplicações interessantes. 

Teorema 1 (Viviani) A soma das distâncias aos lados de um triângulo equilátero de um ponto pertencente ao seu interior ou a seus lados é constante e igual à medida da altura do triângulo.

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No applet acima que criamos, os segmentos em azul, vermelho e verde são as distâncias do ponto aos lados do triângulo. Clique e arraste  ou  com o botão direito do mouse para notar que a soma dos segmentos assinalados permanece constante quando o ponto está dentro do triângulo ou sobre um de seus lados.

O Teorema de Viviani pode ser facilmente "demonstrado" seguindo um simples esquema sem uma única palavra:

Os triângulos verdes são construídos traçando-se paralelas aos lados do pelo ponto e os segmentos em vermelho são suas alturas. Note que na segunda figura um dos triângulos é transladado, ao passo que na terceira rotacinamos as figuras e chegamos ao resultado desejado.

Apresentamos agora uma prova mais rigorosa:

Seja um ponto pertencente ao interior ou aos lados do  equilátero. Traçando os segmentos paralelo a , paralelo a e paralelo a , temos que . Assim, sendo , , , e as medidas das alturas dos triângulos e a medida do lado do , respectivamente:

Somando as três equações acima, obtemos:

Como e ( e são paralelogramos):

Assim:

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Mas talvez a demonstração mais simples seja a que segue abaixo.

Seguindo a mesma notação da última prova:

 

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Utilizando o racicínio acima podemos extender o teorema de Viviani para outras classes de objetos, como polígonos. É fácil provar a chamada propriedade CVS (Constant Viviani Sum) para polígonos regulares, mas deixamos como desafio para o leitor demonstrar que se um polígono possui todos seus ângulos internos de mesma medida, então goza da propriedade CVS.

Esse teorema é tão interessante que se expande para figuras espaciais, de modo que todos os poliedros regulares possuem a propriedade CVS. Será que o teorema é válido para dimensões mais altas?

Solução do desafio de Fermat

Vejamos agora uma solução de Torricelli para o desafio de Fermat utilizando uma aplicação do Teorema de Viviani.

Seja um ponto pertencente ao interior do tal que . Sem provar a existência de , Torricelli mostrou que este ponto satisfaz a condição do problema.

Traçando perpendiculares a , e pelos respectivos vértices, formamos o . Como , o quadrilátero é inscritível e . Analogamente, e é equilátero.

Tome agora o ponto pertencente ao interior do e sejam e suas projecões sobre os lados , e , respectivamente. Como é hipotenusa do , . Analogamente, e . Portanto:

Pelo Teorema de Viviani, , em que é a medida da altura do . Logo:

[CQD]

Em outra solução, Torricelli percebeu que as circunferências circunscritas dos triângulos equiláteros construídos externamente sobre cada um dos lados de um triângulo encontram-se exatamente no ponto de Fermat, como ficou conhecido.

Referências bibliográficas:

COXETER, H. S. M, GREITZER, S. L. Geometry Revisited. 10a ed. Washington, D.C.:The Mathematical Association of America, 1967.

NELSEN, Roger B. Proofs without Words 6a ed. Washington, D.C.: The Mathematical Association of America, 1993.
Kawasak, Ken-ichiroh. Proof Without Words: Viviani’s Theorem, Mathematics Magazine, Vol. 78, No. 3 (2005), pp. 213.
BOGOMOLNY, A. "Viviani's Theorem." http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Viviani.shtml.
ABBOUD, Elias "On Viviani’s Theorem and its Extensions" http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0903/0903.0753v3.pdf
"Equilateral Triangles and 'Viviani's Theorem'" http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Su07/Gilbert/EMAT%206690/Viviani's%20Theorem/VivianiEssay.html

PS.: Agradecimentos ao leitor Tharles Conegundes pela correção da figura anterior.