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"Deus não joga dados..." - A.Einstein

quarta-feira, 13 de julho de 2011

Teorema de Viviani e o desafio de Fermat

Conta-se que o grande matemático amador Pierre Fermat (sim, o mesmo do Último Teorema) certa vez desafiou Evangelista Torricelli (sim, o mesmo da experiência da coluna de mercúrio e da equação da cinemática) com a seguinte questão:

Encontre o ponto cuja soma das distâncias aos vértices de um triângulo é mínima.

Vicenzo Viviani (1622 - 1703) foi aluno de Torricelli, o qual, em uma das várias soluções, utilizou o teorema de seu pupilo, assunto de nosso post. O ponto que resolve o problema proposto hoje é conhecido como ponto de Fermat e também possui muitas aplicações interessantes. 

Teorema 1 (Viviani) A soma das distâncias aos lados de um triângulo equilátero de um ponto pertencente ao seu interior ou a seus lados é constante e igual à medida da altura do triângulo.



This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

No applet acima que criamos, os segmentos em azul, vermelho e verde são as distâncias do ponto aos lados do triângulo. Clique e arraste [;P;] ou [;B;] com o botão direito do mouse para notar que a soma dos segmentos assinalados permanece constante quando o ponto está dentro do triângulo ou sobre um de seus lados.

O Teorema de Viviani pode ser facilmente "demonstrado" seguindo um simples esquema sem uma única palavra:



Os triângulos verdes são construídos traçando-se paralelas aos lados do [;\Delta ABC;] pelo ponto [;P;] e os segmentos em vermelho são suas alturas. Note que na segunda figura um dos triângulos é transladado, ao passo que na terceira rotacinamos as figuras e chegamos ao resultado desejado.

Apresentamos agora uma prova mais rigorosa:


Seja [;P;] um ponto pertencente ao interior ou aos lados do [;\Delta ABC;] equilátero. Traçando os segmentos [;IL;] paralelo a [;AC;], [;JM;] paralelo a [;BC;] e [;KN;] paralelo a [;AB;], temos que [;LPK\sim MNP\sim PIJ\sim ABC;]. Assim, sendo [;h_1;], [;h_2;], [;h_3;], [;h;] e [;L;] as medidas das alturas dos triângulos [;\Delta LPK, \Delta MNP, \Delta PIJ, \Delta ABC;] e a medida do lado do [;\Delta ABC;], respectivamente:

[;\frac{h_1}{h} = \frac{LK}{L},\ \ \ \ \frac{h_2}{h} = \frac{MN}{L},\ \ \ \ \frac{h_3}{h} = \frac{IJ}{L};]

Somando as três equações acima, obtemos:

[;\frac{h_1}{h} + \frac{h_2}{h} + \frac{h_3}{h} = \frac{IJ}{L} + \frac{LK}{L} + \frac{MN}{L};]

Como [;MN = MP = CL;] e [;IJ = PJ = KB;] ([;MPLC;] e [;JPKB;] são paralelogramos):

[;MN + LK + IJ = LK + CL + KB = L;]

Assim:

[;\frac{h_1}{h} + \frac{h_2}{h} + \frac{h_3}{h} = 1 \Rightarrow h_1 + h_2 + h_3 = h;] 

Mas talvez a demonstração mais simples seja a que segue abaixo.


Seguindo a mesma notação da última prova:

[;S_{ABC}=S_{APC}+S_{APB}+S_{BPC};] 
[;\frac{l.h}{2} = \frac{l.h_1}{2} + \frac{l.h_2}{2} + \frac{l.h_3}{2};]
[;h = h_1 + h_2 + h_3;] 
 
Utilizando o racicínio acima podemos extender o teorema de Viviani para outras classes de objetos, como polígonos. É fácil provar a chamada propriedade CVS (Constant Viviani Sum) para polígonos regulares, mas deixamos como desafio para o leitor demonstrar que se um polígono possui todos seus ângulos internos de mesma medida, então goza da propriedade CVS.

Esse teorema é tão interessante que se expande para figuras espaciais, de modo que todos os poliedros regulares possuem a propriedade CVS. Será que o teorema é válido para dimensões mais altas?



Solução do desafio de Fermat


Vejamos agora uma solução de Torricelli para o desafio de Fermat utilizando uma aplicação do Teorema de Viviani.

Seja [;F;] um ponto pertencente ao interior do [;\Delta ABC;] tal que [;\angle AFC = \angle BFC = \angle AFB = 120^{o};]. Sem provar a existência de [;F;], Torricelli mostrou que este ponto satisfaz a condição do problema.
Traçando perpendiculares a [;AF;], [;BF;] e [;CF;] pelos respectivos vértices, formamos o [;\Delta PQR;]. Como [;\angle FAR + \angle FCR = 180^{o};], o quadrilátero [;AFCR;] é inscritível e [;\angle ARC = 60^{o};]. Analogamente, [;\angle BQC = \angle APB = 60^{o};] e [;\Delta PQR;] é equilátero.
Tome agora o ponto [;F'\neq F;]pertencente ao interior do [;\Delta ABC;] e sejam [;A', B';] e [;C';] suas projecões sobre os lados [;PR;], [;PQ;] e [;QR;], respectivamente. Como [;F'A;] é hipotenusa do [;\Delta FAA';], [;F'A>F'A';]. Analogamente, [;F'B>F'B';] e [;F'C>F'C';]. Portanto:

[;F'A+F'B+F'C>F'A'+F'B'+F'C';]

Pelo Teorema de Viviani, [;F'A' + F'B' + F'C' = FA+FB+FC = H;], em que [;H;] é a medida da altura do [;\Delta PQR;]. Logo:


[;F'A+F'B+F'C>FA+FB+FC;] [CQD]

Em outra solução, Torricelli percebeu que as circunferências circunscritas dos triângulos equiláteros construídos externamente sobre cada um dos lados de um triângulo encontram-se exatamente no ponto de Fermat, como ficou conhecido.




Referências bibliográficas:

COXETER, H. S. M, GREITZER, S. L. Geometry Revisited. 10a ed. Washington, D.C.:The Mathematical Association of America, 1967.
NELSEN, Roger B. Proofs without Words 6a ed. Washington, D.C.: The Mathematical Association of America, 1993.
Kawasak, Ken-ichiroh. Proof Without Words: Viviani’s Theorem, Mathematics Magazine, Vol. 78, No. 3 (2005), pp. 213.
BOGOMOLNY, A. "Viviani's Theorem." http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Viviani.shtml.
ABBOUD, Elias "On Viviani’s Theorem and its Extensions" http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0903/0903.0753v3.pdf
"Equilateral Triangles and 'Viviani's Theorem'" http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Su07/Gilbert/EMAT%206690/Viviani's%20Theorem/VivianiEssay.html

PS.: Agradecimentos ao leitor Tharles Conegundes pela correção da figura anterior.

4 comentários:

  1. Esses dias eu estava refletindo sobre o teorema de Viviani e me perguntei como podia demonstrá-lo de uma forma clara e objetiva, então eu me deparo com sua demonstração, gostei bastante.

    Até mais !

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  2. Como você faz para adicionar um applet em sua postagem?

    Eu tenho o Geogebra e percebi que o applet utiliza ferramentas do mesmo, então você mesmo produziu o applet?

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  3. Olá, Diego!

    Seja bem vindo, como sempre. Essas demonstrações são realmente bem legais, gosto especialmente daquela pelas áreas.

    Pois é, já fazia um tempo que estávamos procurando um software de geometria dinâmica que pudesse gerar um applet compatível com o Blogger. Descobri agora que o próprio Geogebra faz isso de uma forma bem simples.

    1-) Acesse http://www.geogebra.org/cms/en/download e selecione Aplpet Start (para não ter que baixar)

    2-) Após terminar o trabalho, vá em Arquivo > Exportar > Planilha Dinâmica como Página WEB (html)

    3-) Clique em Avançado e onde está Arquivo:html selecione Área de Transferência: html

    4-) Altere largura e altura para que caiba no seu design

    5-) Abra sua página de edição do Blogger e dê um Ctrl+v no código fonte

    6-) Apague o cabeçalho html, do contrário o Blogger não entende o comando

    Qualquer coisa estamos aí =]

    Abraços!

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  4. Parabéns por este post interessante e muito bem escrito. Havia estudado esse assunto dias atrás, mas sua apresentação é muito boa.

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