Sem calcular o resultado numérico, determine quem é o maior ![[;
e^{\pi} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sXYXSuBK6SmMgFUnOm-lumAbK3qYOpevLA2mCT9hbnDU7L6YDgf8hmWmgoY-rgjRCnSYzbnyv5OtND7KXASA4bFycpaeBXUj5M=s0-d "e^{\pi}")
ou ![[;\pi^{e};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sePWCRnAjgLOvv4BCgqQTxoq1mrJdj0KneYGJlcCL6JhBLDJRVtEJCkiaE2lCPw_ZoZjTE8Txra0g8SSwjL2HLaZ67fdYToA=s0-d "\pi^{e}")
.
ou .Seja ![[;f: \Re_{*}^{+} \mapsto \Re;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sb8-aGyBZT5VqaCO74KAUhUJRVkmLK4PSA3hJQl74vsxyXr_e2EjiaU3SjfP2XBEU2F606zv99WnHWriORg-xZypFN608T-ODIr_WjH_tg1OG5tSu1bPPfGy6Vjvl_Dd_uy9nJ4SYH0A=s0-d "f: \Re_{*}^{+} \mapsto \Re")
uma função definida como:
uma função definida como:![[;f(x) = \frac{x}{ln(x)} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uNLz3fGIU1DKeELo6fVWdIB1LEHu6dhgWweZBTpDP3S7gLT9JdcRyLL1gjI6jijqKp06ySn8FVTNJIFH1iKnws2xCfoxfDm7AuA_bCtvI-sGkpUWX7PUW-I0ScvJRvt_tMFFo=s0-d "f(x) = \frac{x}{ln(x)}")
Determinemos os pontos extremos dessa função:
![[;f'(x)=\frac{ln(x)-1}{ln^2(x)} = 0 \Rightarrow x = e;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uhHNL6RMY-yZ9bFm9DxiIHoR7Zj032-XNWnz05-pYjLI00AG92TsXFC-b6noeltuolqYaPL-skXZ_wUF0NxxajluGUCFgkASP-OmJOc_d8ykwjKqh3F-EW1h5BLWqnuYcGbdNVxOdexjZ1rxQFHjEymeRYoR0bMzoyKfYVdjV8DXAy4K53-L_yzG36E9iUBMdBN-E=s0-d "f'(x)=\frac{ln(x)-1}{ln^2(x)} = 0 \Rightarrow x = e")
Para sabermos se ![[;f(e);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tQD6z022ZXIO6fbUFmCFRGFUdfhx9bmCBdGKt312h4sGb97DBkeqJ8APRJfIbgs65etmugef5iLJcBltvcP1P0=s0-d "f(e)")
trata-se de um ponto de máximo ou mínimo, apliquemos o teste da segunda derivada:
trata-se de um ponto de máximo ou mínimo, apliquemos o teste da segunda derivada:![[;f''(x)=\frac{2-ln(x)}{xln^3(x)}\Rightarrow
f''(e)=\frac{1}{e} >0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vLNWVgNIy6O5XdjHeWwyVe8pCZIm6qz5QeL_n9QlxnncKGWyYh0Tg3gpblqpnQ12EFGvfyG40cXXAdu4alyZxZzp56lV46rP4ynITIqcbL8n2M22ur9QMEcm1PMCGHoFLsMrBm4ECK1uuD2liXomS4stYCeR9hcRF4znspsOJeEy7a7ObuHUHLZqvsBNQWHb5QRuYxD46QskGXUWhsyYhXLOYgHB6fM6Okr0PhNVg=s0-d "f''(x)=\frac{2-ln(x)}{xln^3(x)}\Rightarrow f''(e)=\frac{1}{e}
>0")
Portanto,
é um ponto de mínimo, ou seja:![[;f(x)\geq f(e) \ \forall x\in \Re_{*}^{+};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sD4AUyqvHx4P3APVhQ1nzRRTpPEFfFsmnDHfJOCZwOTzZGviy3I4XN7Ta8e8038tHUgWdy7THo0ZNX467LBWDzSVYIUYIYjVe__cVZpqHhW6L50YZRdsa8gYTevN7-E15OxKi2WPT1qOy-kX5EJ_4u0CxObUrNCT0zpQJvv8OLxa6N2HSM=s0-d "f(x)\geq f(e) \ \forall x\in \Re_{*}^{+}")
Desenvolvendo a desigualdade acima, obtemos:
![[;\frac{x}{ln(x)}\geq e \Rightarrow xln(e) \geq
eln(x) \Rightarrow e^x \geq x^e;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tU6jR1xDxmYB3dcrzsfEXW_TtY3DRk4t8fOewX_1ksomef1KkC3lz4p07hc1coMrWxaFz2QwSc7ykzfdjkFOuDXoi-riaaLYqzWvNhrow0LGb31VbDP6mllohseNQ9pDF37u9iYyor-2gz0297_iYssFpZivk2XKB2ThwJyBBky4kQB3NYnmSE83oh0711P4du3dR1PfkZS9wrCb1PvDsxnct6y6zouTSgWQRvx10ZIquzM8NPP8GuSfdG=s0-d "\frac{x}{ln(x)}\geq e \Rightarrow xln(e) \geq eln(x) \Rightarrow
e^x \geq x^e")
No caso particular de x = ![[;\pi;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_voywMb2JFU-HD3SEWVDh37i6_bTfB2O-WzIZA2Bk8VH13RzDALdep_bGgBnk11ouOSJ9meaflh_aPAFfQ=s0-d "\pi")
:
:![[;e^{\pi} \geq \pi^{e};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vx4qNFjuNlJZJ4Pjbprfgxg8gmM3_OtpTukpKfkAPKzkIXAvzYxFE46zL0G-226zgTEzG-iR7378dy2GnpTsXAlusWAHVZJ41IKWDcPJxHqp5Fdi6HWsPvlthfUVGeUOIyuQ=s0-d "e^{\pi} \geq \pi^{e}")
PS.: Apesar de a função ![[;f;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_unc86OgyP3dR_3jR-vk3U6xgIfNzR2Xm2C_p3VO2M1Goh-unSw1T-WOlkGnVBe9ZbiOHFgZk6MI7M=s0-d "f")
parecer um tanto nebulosa de se enxergar, se tomarmos como hipótese e desenvolvermos no sentido contrário, a função torna-se um pouco mais evidente.
parecer um tanto nebulosa de se enxergar, se tomarmos como hipótese e desenvolvermos no sentido contrário, a função torna-se um pouco mais evidente.
Gostei da solução, o Blog Mathano utilizou uma função similiar a sua para demonstrar a mesma desigualdade.
ResponderExcluirGostei da sua abordagem pois ela é bastante objetiva.
Até mais !
Parabéns pela postagem. Muito boa a observação sobre como obter f.
ResponderExcluirAté+
Pedro R.