Em homenagem ao dia internacional do pi (ontem, 14/03), a equipe do Dados de Deus procurou um jeito de homenagear essa beldade matemática, que nos acompanha desde os tempos dos simpáticos círculos em nossos primários.
O resultado foi um jeito algébrico de escrever o número, utilizando conceitos muito antigos, utilizados por Arquimedes (287 - 212 A.C.). Confira!
Dado o círculo da figura acima, dividamos o segmento definido pela origem e (1,0) em n partes de mesmo comprimento. A área do 1° quadrante pode ser aproximada somando-se as áreas dos retângulos formados na imagem, de modo que quanto maior o número de divisões (i.e. quanto maior n), melhor será nossa aproximação.
De fato, cada retângulo possui área:
![[;S=(\frac{1}{n})\sqrt{1-(\frac{k}{n})^2};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sRcKRrycURbSdOy-3Q_TRORzgYC4g3Tbs1KLLpDZonX2CZd5qfHngxQxfWKUTZRf5pzVr8bNVDdTNIwLNWP26XW1utWP3dxMvL6aLJzTGNgLketSCqx7Vl9drxt6cohHMHPmfsVFXrv9EEkUBY6S52d_03LlRFt0TC2p1uE74Ld9Jv=s0-d "S=(\frac{1}{n})\sqrt{1-(\frac{k}{n})^2}")
E a área fica:
![[;S\approx(\frac{1}{n^2})\sum_{k=1}^{n}\sqrt{n^2 - k^2};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sQmsK2qLba8pRh0EUv-OuPSIC0vlLm1il_tiU1yCOEjZ6ul1ITAPL6pbNwkBCa0X3R-pAZi3rKCk16verKT1cBezC1fgnWOo6C4W9x52r7dApOrD8FMDAr4K2rs-v3VtsZLYZERrtRy4FxS-2VPmZGgox5Zlb9_N1yP0OQNcxH97k2__g36EOiaKFpOIMAr2WbaQjm3Ouu0PI=s0-d "S\approx(\frac{1}{n^2})\sum_{k=1}^{n}\sqrt{n^2 - k^2}")
No caso extremo em que n tende a infinito, a expressão acima torna-se uma igualdade.
![[;S = \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{n^2-k^2});]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vsHeBVpa9MY1LwXPax0HXmGkj571FBdPr7y6aksvsygSJBgyz5RPd5loODhIuNFIS3MZwlUTNT3npMQlPd3wORRpe4Y0Tdkx3Bii-NlrdY9xuJZ02lWmv6LfZWDFCigB3P0Y5bC2_vSdOJh8t6sOHQHf-LKtFrCLL11_3CAbGFiPx7SO6F1HYn8wXVmzLq1eyw2e9NwptrmDmsxHaMDjC1yd8CLTJWx09DODdGTAY6vEAQew=s0-d "S = \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{n^2-k^2})")
Mas
![[;S=\pi/4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ty_VxUzhypdPs0-Dmx-VIXDf7LsSjQCCnQ2UrFx6hragiUCLkWnYuimhgmdb39S9YH7h28mxg6LJ82riR-20EX2Q=s0-d "S=\pi/4")
. Logo:![[;\pi = \lim_{n \to \infty}(\frac{4}{n^2}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{n^2-k^2});]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_stoIAe01dZ5sHIkvi9_MsyA1YdqefVzz3o-1ntcVU555uHZYeDtHAzkl9cqAc4XWpzwgYFE1B9MwY6XHWA1x8JGtmBYS-vhZA-PddpW4dOphssfRA_Els5pnx0bU_331Tiq-AEYkiGb9kInhx5DCg9DUPz0CI8a1488T9gj14hwKS6PFZZZz1UkVKPXNyYflmPGmfw_sP_OkcIw9ORJCopSHbASlhHXeUX83_rc2aYs8NBjaR7kS8=s0-d "\pi = \lim_{n \to \infty}(\frac{4}{n^2}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{n^2-k^2})"){kind=small}
Uaaaaau!!!!
ResponderExcluirParabéns, ótimo blog!!!
Inteligentíssimo!!!