Na figura abaixo,calcule o lado do triângulo equilátero ABC ,sabendo que PA = 3 cm , PB = 4 cm e PC = 5 cm
Resolução:
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Tome P' externo ao![[;\Delta ABC;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vklLxywqwphiDE8VNpoDcvnksDiHAGvzBJIT97KOfTIy-S114hpQ35C2dpr8_Y17VyZFW3M5FQxshTvh-B9ZU-7pXALlo=s0-d "\Delta ABC")
tal que ![[;m\overline{(AP')}=5cm;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tHi4208TkyMVw8qpxDDiFHkhs1i0Wy913JSFDdag5L2qnKVOEu8xiETJ-3Bod9ppq3KNcl_6t_SuJREttyhS4F53V0hjpkDuBbQy2qw54Rywdlgvj2avD5=s0-d "m\overline{(AP')}=5cm")
e ![[;m\overline{(BP')}=4cm;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_taBV-ixwsHwKNxztvcqyUob6pJDD1dzdXgtu5MuldZ1y8qNfMwDMYRx9eBgG9Xoyg9dXdC427XDh1ENVS-kfYFPbW9UNcss4YJix95j4bb6RAvoCHkeluQ7g=s0-d "m\overline{(BP')}=4cm")
tal que e ![[;\Delta BCP\equiv\Delta ABP'\ \ \ (L.L.L.)\Rightarrow \angle CBP=\angle ABP';]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vaccz8K-14ds4whtEKijJZNxI9UBw7xRYeL56rfIC6upEI1GZHZOnvizc1IHD6rFHCASAOQVRqMkYzT5fsjx2smMLbJcxxEOHsxoGk3Xel4_TZp8N-Npv2rEXHGrF6AyEVPb3GIR_drjb4xTclPXw6x9bxXP5-sLGurndR3V8A0CTeQSGBeHjRY4nl--6mVkxV0B93Fjn5h9lnsSaff-QTtYqekRtqTi9kzOx0BQ=s0-d "\Delta BCP\equiv\Delta ABP'\ \ \ (L.L.L.)\Rightarrow \angle CBP=\angle ABP'")
Mas ![[;\angle PBA=60^{o}-\angle CBP;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_smmMYpMRUmPXCpr_rfSrQ9y7m36ws-XfFJiFGTo0TyaSD0ctRIIndH18RuiOT8dHnbXCQwkJIZGaWNDLByCRikUTdfsvx9_LixJLu7BW86mTBlqW3yYw_qDb4L6qgKjcWiWw=s0-d "\angle PBA=60^{o}-\angle CBP")
Logo: ![[;\angle PBP'=60^{o} \Rightarrow \Delta BPP';]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u8PIYs0VFCXHHDXB3ltq0y5v0G7s65rvIXe3mDokbpC3KiH7Y-IcfAkNZbBms36jG4J69kBu1rbw3GDqkejDeY2hdXpAs4WOiPght2lekcaZ70-KMlhceiF5mWcT26LUq5lAujknkLvZtVRptqmkSgvqS5wypB_AX79w=s0-d "\angle PBP'=60^{o} \Rightarrow \Delta BPP'")
é equilátero (![[;m\overline{(PP')}=4cm;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_stbVOPu_7B1RlnYzEOlHANlMbn1XmQqYyJQPG8hX9kOZGW4l4_yH6c05LnKg2F2FkVojsuuNoBpiQLVu0chbd80fzkhz6UBHhnnH97YBDwSOSvO4LGXSN5=s0-d "m\overline{(PP')}=4cm")
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é equilátero ( e )![[;\Delta APP';]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uxE0-DcdsSZ7rsG8m0pX108i99RM5NM6VuRz1pYdYPkL4dI39VV_ZomvgLtekdw3y5lTc5oLG9u3dDTwv3a8f9eSDT5is9Apsj=s0-d "\Delta APP'")
é 3, 4, 5 ![[;\Rightarrow \angle APP'=90^{o};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_smz9o_E3vDFe5M_wijpTCoUShRJeSo4GcSOjj4PU0pvNkMELge-h7cE9Y0_TDdcsmlVsOAzjhsi-P5nMR1ptH1dKJd5zGCe_nYwGhPSsEGCU_YTYFtK8UbWSJrHkwTvaA=s0-d "\Rightarrow \angle APP'=90^{o}")
Assim, ![[;\angle APB=150^{o};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tbgGgfh9Hht1dIBZbxIneGCMfPGPSEH5HT13rvZZ7MDZjf7B7lDAJecw2xFhocuEtoyb58dfDnY_omFi_DGa5JiYW0Wcfn9D2n4oVdsXRPmbRFqyM=s0-d "\angle APB=150^{o}")
Aplicando a Lei dos Cossenos no ![[;\Delta ABP;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tCgwZnmzfLO4ISoS_m-nfZKIcXg_MIlDaUcVK8QlivOaUjn93q2FdPZsQ-DYlltWrUDsS_RJIfc_K4l3tuwy4xlTJvTjE=s0-d "\Delta ABP")
:
:L² = 3² + 4² - 2.3.4.cos150°
L = ![[;\sqrt{25-12\sqrt{3}};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ufJZLh0kPjf0JmkhNQm8g1QIV3ZQmu3iCh2AZxi31jg4N14werBw3SIhzMYi_2eR4zYUljbGccmbNvPYVqDNlIuVUdIQPh_lYePlKtjYnRrL6pZWOUm68=s0-d "\sqrt{25-12\sqrt{3}}")
cm
cmComentário da questão
Embora possa parecer complexo visualizar a construção da resolução, existem algumas dicas a que o aluno deve atentar. A primeira delas é que estamos lidando com os números quase cabalísticos 3, 4 e 5 em um triângulo, o que deve nos levar a pensar no triângulo pitagórico. Com isso, já fica mais fácil de perceber que necessitaremos de uma construção geométrica.
Outra dica importante é que, se o problema pedisse para provarmos que o lado do triângulo valecm, deveríamos começar a questão no sentido inverso. Aplicando uma lei dos cossenos no determinamos o ângulo de 150°, que por sua vez nos induz a dividí-lo em 90°+60° e forçar o surgimento do pitagórico.
cm, deveríamos começar a questão no sentido inverso. Aplicando uma lei dos cossenos no determinamos o ângulo de 150°, que por sua vez nos induz a dividí-lo em 90°+60° e forçar o surgimento do pitagórico.Questão clássica que todo candidato aos vestibulares do IME e do ITA deve conhecer.
Referência bibliográfica
http://www.orkut.com.br/Main#CommMsgs?cmm=1299345&tid=5586134653979795088
Referência bibliográfica
http://www.orkut.com.br/Main#CommMsgs?cmm=1299345&tid=5586134653979795088
Que legal!! Um blog de Matemática. Me formei recentemente em Matemática na Universidade do Estado da Bahia e vou sempre passar por aqui...
ResponderExcluirhttp://essenciadaverdade.blogspot.com/
O ângulo APB não é 120° e sim 150°(90+60).
ResponderExcluirApesar de estar assinalado cosseno de 120°.O cálculo foi feito com cosseno de 150° que é igual a -cosseno de 30°.
Ok Leo, corrigido.
ResponderExcluirAgradecemos pela colaboração.
Abraços!
Curioso.
ResponderExcluirA resolução que eu conhecia envolvia o cálculo de área através de Heron, o que era milhares de vezes mais trabalhoso.
Muito bom... tradicional construção de um sagaz equilátero.