Vamos provar essa bela identidade utilizando apenas argumentos combinatórios.
Quantos subconjuntos com m mulheres e h homens temos em um grupo de p pessoas? Podemos pensar de duas formas diferentes: somando cada subconjunto possível ou simplesmente escolhendo p pessoas das m+h totais.
De fato, o número de subgrupos nos quais há exatamente k mulheres é:
. Logo:
É evidente que poderíamos fazer uma demonstração simples aplicando o Princípio da Indução Finita ou a seguinte identidade:
O termo genérico do desenvolvimento de
é
, o que implica em o coeficiente em
ser
. Por outro lado:
O coeficiente de
no produto
é:
Logo:
Corolário (Fórmula de Lagrange) ![(C^{0}_{n})^2+(C^{1}_{n})^2+...+(C^{n}_{n})^2=C^{n}_{2n} [;(C^{0}_{n})^2+(C^{1}_{n})^2+...+(C^{n}_{n})^2=C^{n}_{2n};]](http://thewe.net/tex/%28C%5E%7B0%7D_%7Bn%7D%29%5E2+%28C%5E%7B1%7D_%7Bn%7D%29%5E2+...+%28C%5E%7Bn%7D_%7Bn%7D%29%5E2=C%5E%7Bn%7D_%7B2n%7D)
Demonstração: Basta aplicar m=h=p=n na fórmula de Euler:
Mas
. Logo:
![\sum^{n}_{k=0}(C^{k}_{n})^2=C^{n}_{2n} [;\sum^{n}_{k=0}(C^{k}_{n})^2=C^{n}_{2n};]](http://thewe.net/tex/%5Csum%5E%7Bn%7D_%7Bk=0%7D%28C%5E%7Bk%7D_%7Bn%7D%29%5E2=C%5E%7Bn%7D_%7B2n%7D)
Referência bibliográfica:
MORGADO, A.C. Análise Combinatória e Probabilidade. 9a ed. Rio de Janeiro: SBM
MORGADO, A.C. Análise Combinatória e Probabilidade. 9a ed. Rio de Janeiro: SBM
Olá pesoal do blog!
ResponderExcluirTentei visualizar os códigos em dois navegadores distintos: chrome e mozilla porém sem sucesso, sendo que no último uso o greasemonkey, não sei o que fazer, alguém pode me ajudar?!