Dados de Deus: Solução do 9° desafio

segunda-feira, 23 de maio de 2011

Solução do 9° desafio

Parabenizamos a:

Farley Soares

Carlos Eduardo Aguiar Paiva

Danilo Venancio

Warles Ribeiro Neto

por terem enviado suas soluções. Como recebemos muitos e-mails e algumas respostas são semelhantes, reproduzimos aqui apenas as 2 primeiras recebidas. Para visualizar as demais, acesse os links correspondentes no fim do post.

Obs.: Algumas pequenas alterações foram feitas.

1a solução (Farley Soares):

Suponhamos que $[;\cos(1^{o});]$ , $[;\cos(a);]$ e $[;\cos(a-1);]$ sejam racionais, então:

$[;\cos(a+1) = \cos(a) \cos(1^{o}) - \sin(1^{o}) \sin(a);]$ (I)

Mas também temos que:

$[;\sin(a) \sin(1^{o}) = \frac{\cos(a-1) - cos(a+1)}{2};]$ (II)

De (I) e (II) vem:

$[;\cos(a+1) = \cos(a) \cos(1^{o}) - \frac{cos(a-1)-cos(a+1)}{2};]$

Como o conjunto dos racionais é fechado em relação à soma e ao produto, $[;\cos(a+1) \in \mathbb{Q};]$

Assim, temos pela hipótese que (podemos utilizar o Princípio da Indução Finita para demonstrar o que segue):

$[;\cos(0^{o}),\ \cos(1^{o}) \in \mathbb{Q} \Rightarrow \cos(2^{o}) \in \mathbb{Q};]$

$[;\cos(1^{o}),\ \cos(2^{o}) \in \mathbb{Q} \Rightarrow \cos(3^{o}) \in \mathbb{Q};]$

$[;\cos(2^{o}),\ \cos(3^{o}) \in \mathbb{Q} \Rightarrow \cos(4^{o}) \in \mathbb{Q};]$

$[;\vdots;]$

$[;\cos(28^{o}),\ \cos(29^{o}) \in \mathbb{Q} \Rightarrow \cos(30^{o}) \in \mathbb{Q};]$

Como $[;\cos(30^{o});]$ é irracional, chegamos a um absurdo, o que implica em nossa premissa estar incorreta. Fica provado, então, que $[;\cos({1^{o}});]$ é irracional.

2a solução (Carlos Eduardo Aguiar Paiva):

Sabe-se que:

$cos3^{\circ} = \frac{\sqrt2-\sqrt6-\sqrt{10}+\sqrt{30}+(2+2\sqrt3)\sqrt{5+\sqrt5}}{16}$

Da trigonometria:

$[;\cos(3x) = 4\cos^{3}(x)-3\cos(x);]$

$[;\cos(3^{o})=4cos^{3}(1^{o})-3\cos(1^{o});]$

Logo:

$cos3^{\circ} = \frac{\sqrt2-\sqrt6-\sqrt{10}+\sqrt{30}+(2+2\sqrt3)\sqrt{5+\sqrt5}}{16}$ $[;=\ 4cos^{3}(1^{o})-cos(1^{o});]$

Como o conjunto dos racionais é fechado em relação à soma e ao produto e $[;\cos(3^{o});]$ é evidentemente irracional, $[;cos(1^{o});]$ $[;\in \mathbb{I};]$ .