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"Deus não joga dados..." - A.Einstein

sábado, 21 de maio de 2011

Como calcular sin18° ?

Apresentaremos duas formas de calcular [;\sin{18^{o}};], uma geométrica e outra algébrica. O s valores do seno e cosseno desse ângulo podem ser muito úteis na resolução de  problemas. Pois bem, vamos lá!


Método geométrico:


Seja ABCDE um pentágono regular de lado unitário e O o centro de sua circunferência circunscrita. Sejam ainda Q o ponto correspondente à intersecção entre [;\overline{BE};] e [;\overline{AO};]e seja D a medida da diagonal [;\overline{(BE)};].

ABCDE regular [;\Rightarrow;] [;\angle ABC = 108^{o};].

Por simetria, [;m(\overline{BQ}) = m(\overline{EQ}) = m(\overline{\frac{BE}{2}});]. Logo [;\angle ABQ = 36^{o};], [;\angle BAQ = 54^{o};] e [;\angle AQB = 90^{o};].

Tome o ponto [;P \in \overline{AC};] tal que [;\angle ABP = 36^{o};] (i.e. [;P\in \overline{BE};]) e [;\angle CBP = 108^{o}-36^{o} = 72^{o};].

[;\Delta ABC;] isósceles [;\Rightarrow \angle BAC = 36^{o};] e [;\angle BCA = 36^{o};]. Logo, [;\angle PAO = 54^{o} - 18^{o};].

[;\Delta ABP \sim \Delta ABC \Rightarrow \frac{1}{D} = \frac{D-1}{1} \Rightarrow D = \frac{1+sqrt{5}}{2};] (Triângulo aúreo).
 
[;\Delta BCP;] isósceles [;\Rightarrow m(\overline{CP})=1;] [;\Rightarrow m(\overline{AP}) = m(\overline{AC}) - 1 = D - 1;]

[;\Delta ABP;] isósceles [;\Rightarrow m(\overline{AP}) = m(\overline{BP});] 

[;\Delta ABP;] isósceles [;\Rightarrow m(\overline{AP})=m(\overline{BP})=D-1;] 

Mas [;m(\overline{PQ}) = m(\overline{BQ}) - m(\overline{BP}) = \frac{D}{2} - (D - 1);]

Logo:
[;\sin{18^{o}} = \frac{m(\overline{PQ})}{m(\overline{AP})} = \frac{1-\frac{D}{2}}{D-1} = \frac{sqrt{5} - 1}{4};]

Método algébrico:


Note que [;\sin(2\ .\ 18^{o})=\cos(3\ .\ 18^{o});].

Vamos encontrar as soluções da equção trigonométrica:

[;\sin(2x)=\cos(3x);] 
[;2\sin(x)\cos(x)=\cos(2x)\cos(x)-2\sin^{2}(x)\cos(x);]
[;\cos(x)[2\sin(x)-\cos(2x)+2\sin^{2}(x)]=0;]
[;cos(x)[4\sin^{2}(x)+2\sin(x)-1]=0;] 

Com isso concluimos que as soluções ocorrem para [;\cos(x)=0;], [;\sin(x)=\frac{\sqrt{5}-1}{4};] e [;\sin(x)=\frac{-\sqrt{5}-1}{4};]. Como já vimos que [;x=18^{o};] é solução e [;cos(18^{o})\neq 0;] e [;\sin(18^{o})\geq 0;], temos que:

[;sin(18^{o})=\frac{\sqrt{5}-1}{4};]

Existem diversas outras maneiras de se chegar a esse resultado, mas consideramos as duas acima bastante interessantes. 


Referências blibliográficas:

Notas de aulas dos professores Carlos Nehab e Carlos Alberto Victor.

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