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"Deus não joga dados..." - A.Einstein

sábado, 28 de maio de 2011

Demonstrações matemáticas por... física!? (parte I)

O Dados de Deus está inovando com uma série de postagens sobre demonstrações de teoremas utilizando conceitos físicos. Sim, sim, isso é possível!

Nessa primeira parte apresentaremos a famosa desigualdade das médias (clique aqui) utilizando conceitos básicos de termodinâmica. Vejamos:


Breve revisão...


Lei Zero da Termodinâmica: Em todo sistema isolado, haverá um estado particular caracterizado pela constância de todas as grandezas termodinâmicas mensuráveis determinado estado de equilíbrio termodinâmico.

1a Lei da Termodinâmica: A variação da energia interna de um sistema é igual à diferença entre o calor e o trabalho trocados pelo sistema com o meio exterior.

Matematicamente, esse enunciado é equivalente a:

[;\Delta U_{int} = Q - W;]

2a Lei da Termodinâmica: A entropia de um sistema isolado nunca decresce.

Matematicamente, esse enunciado é equivalente a (para um sistema isolado):

[;S_{B} - S_{A} = \int_{A}^{B}\frac{dQ}{T}\geq0;]

A demonstração


Considere agora um sistema isolado composto por [;n;] recipientes idênticos de massa [;m;] e calor específico [;c;]. Pela Lei Zero da Termodinâmica, os corpos tendem ao equilíbrio térmico a uma temperatura [;T_{F};], em Kelvin (fig. 01).











Durante esse processo, os recipientes com temperatura maior que [;T_{F};] perdem calor para aqueles com tempetura inferior a [;T_{F};]. De acordo com a 1ª Lei da Termodinâmica, para um sistema isolado:

[;Q = 0 \Rightarrow Q_{1}+Q_{2}+...+Q_{n}=0;]
[;mc(T_{F}-T_{1})+mc(T_{F}-T_{2})+...+mc(T_{F}-T_{n})=0;]
[;T_{F}=\frac{T_{1}+T_{2}+...+T_{n}}{n};]


Pela 2ª Lei da Termodinâmica:

[;\Delta S_{sist} = \Delta S_{1}+ \Delta S_{2}+...+ \Delta S_{n} \geq 0;] 

Logo:
 [;\int_{T_{1}}^{T_{F}}\frac{dQ_{1}}{T} + \int_{T_{2}}^{T_{F}}\frac{dQ_{2}}{T} + ... + \int_{T_{n}}^{T_{F}}\frac{dQ_{n}}{T} \geq 0;] 

Mas  [;dQ=mc(dT);]. Assim:


[;mc\int_{T_{1}}^{T_{F}}\frac{dT}{T}+mc\int_{T_{2}}^{T_{F}}\frac{dT}{T}+...+mc\int_{T_{n}}^{T_{F}}\frac{dT}{T} \geq 0;]

[;mc[ln(\frac{T_{F}}{T_{1}})+ln(\frac{T_{F}}{T_{2}})+...+ln(\frac{T_{F}}{T_{n}})]\geq 0;]

Das propriedades do logarítmo, temos:

[;mc\ ln(\frac{T^{n}_{F}}{T_{1}T_{2}...T_{n}})\geq 0 \Rightarrow \frac{T^{n}_{F}}{T_{1}T_{2}...T_{n}} \geq 1;]

Com isso, chegamos a:


[;T_{F} \geq \sqrt[n]{T_{1}T_{2}...T_{n}} \Rightarrow \frac{T_{1}+T_{2}+...+T_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{T_{1}T_{2}...T_{n}};]


Fique de olho nos próximos capitulos surpreendentes dessa série!


Referências bibliográficas:

Levi, Mark The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems, New Jersey: Princeton University Press, 1951.

Polya, George Mathematical and Plausible Reasoning: Induction and Analogy in Mathematics, New Jersey: Princeton University Press, 1954
Postado por Marcos Valle às 09:36
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4 comentários:

  1. Prof. Paulo Sérgio28 de maio de 2011 às 10:42

    Por esse caminho eu não conhecia, gostei muito dessa forma de provar a desigualdade AG. Parabéns pela postagem.

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  2. T28 de maio de 2011 às 12:08

    Muito legal o post! Aliás, se alguém ainda não viu, dê uma olhada no livro citado: "The Mathematical Mechanic".

    Aguardo pelos próximos episódios!

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  3. Marcos Valle28 de maio de 2011 às 13:39

    Obrigado, Paulo!

    Esperamos que goste dos próximos.

    Abraços e volte sempre.

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  4. Marcos Valle28 de maio de 2011 às 13:40

    Tiago, esse livro é realmente muito interessante e vai servir como uma das fontes para a nossa série.

    Não deixe de olhar também o livro do Polya, é muito bom.

    Abraços e volte sempre!

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