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"Deus não joga dados..." - A.Einstein

sexta-feira, 13 de maio de 2011

Solução do 8° desafio

Como x, y e z são positivos, podemos dividir ambos os membros por [;sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x+y+z}};] e obtermos:

 [;\sqrt{\frac{x(x+y+z)}{(x+y)(x+z)}}+\sqrt{\frac{y(x+y+z)}{(y+z)(y+x)}}+\sqrt{\frac{z(x+y+z)}{(z+x)(z+y)}}\geq2;]  (I)

Mas se x, y e z são positivos, existe um triângulo com lados [;a=x+y;], [;b=y+z;] e [;c=z+x;]. Seja então [;s=x+y+z;] , temos [;(x, y, z) = (s-b, s-c, s-a);].

Mas, do Teorema dos Cossenos:

 [;cos\gamma = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab};][;=\frac{{(a+b)}^{2}-c^{2}}{2ab}-1;][;= \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}-1;]

Como [;cos\gamma = 2{(\cos\frac{\gamma}{2})^{2}-1;]:
 [;\cos\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}};][;= \sqrt{\frac{y(x+y+z)}{(x+y)(y+z)}};]

Analogamente, concluímos que:

[;\cos(\alpha/2) = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}};] [;=\sqrt{\frac{z(x+y+z)}{(y+z)(z+x)}};] 

E:

[;cos(\beta/2) = \sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}};] [;=\sqrt{\frac{x(x+y+z)}{(x+y)(x+z)}};]

Substituindo em (I):

[;\cos{\frac{\alpha}{2}} + \cos{\frac{\beta}{2}} + \cos{\frac{\gamma}{2}}=;] [;\sqrt{\frac{x(x+y+z)}{(x+y)(x+z)}} + \sqrt{\frac{y(x+y+z)}{(y+x)(y+z)}} + \sqrt{\frac{z(x+y+z)}{(z+x)(z+y)}};] (*)

Podemos ainda fazer as seguintes substituições:


Note que (i.e. ângulos de um triângulo acutângulo) e:


Da desigualdade de Jordan (vide http://dadosdedeus.blogspot.com/2011/05/desigualdade-de-jordan.html), segue de imediato que:


 [CQD]

(*) Existem várias outras formas de se provar essa desigualdade, como pela Desigualdade de Jensen, já que f(x) = cos(x) é uma função estritamente côncava no intervalo [0,π/2].

2 comentários:

  1. Notei que você utilizou em sua demonstração a desigualdade de jordan, já abordado em outra postagem, e isso mostra que a matemática não tem limites pois algo aparentemente complexo se torna simplificado apenas com o uso da ferramenta certa.

    Parabéns!

    http://gigamatematica.blogspot.com

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  2. é verdade, Diego! Com a ferramenta certa podemos resolver uma grande quantidade de problemas de forma simples.

    Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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