Dados de Deus: Demonstração geométrica do teorema de Van Aubel (parte I)

sexta-feira, 18 de março de 2011

Demonstração geométrica do teorema de Van Aubel (parte I)

A demonstração do famoso teorema de Van Aubel por números complexos é extremamente elegante e extensamente conhecida. No blog LeGauss (excelente, por sinal!) você a encontra na íntegra, no link http://legauss.blogspot.com/2010/12/um-problema-de-geometria-e-sua-solucao.html#more.

Mas a equipe do Dados de Deus resolveu buscar uma prova utilizando apenas a boa e velha geometria e econtrou o que se segue. Dividimos em duas partes, uma para demonstrarmos um lemma e a outra para o teorema em si.

Lemma: Dado um triângulo ABC qualquer, constroem-se externamente quadrados sobre dois de seus lados. Os segmentos que ligam os centros dos quadrados ao ponto médio do lado restante são perpendiculares e congruentes.

Demonstração:

$[;1-);]$ $[;\Delta BCD \equiv \Delta ABF\ \ \ (caso\ L.A.L.) \Rightarrow m(\overline{CD})=m(\overline{AF});]$

$[;2-);]$ $[;\angle BDC=\angle BAC \Rightarrow \Delta BDE \sim \Delta AEG \Rightarrow \angle AGE=90^{o};]$

$[;3-);]$ $[;\overline{MO};]$ e $[;\overline{NO};]$ são bases médias de $[;\Delta ACD;]$ e $[;\Delta ACF;]$ , respectivamente. Logo, $[;\overline{MO}=\frac{\overline{CD}}{2}=\frac{\overline{AF}}{2}=\overline{NO};]$ . Além disso, $[;\overline{MO}\perp\overline{AF};]$ e $[;\overline{NO}\perp\overline{CD};]$