Dados de Deus: Solução do 3° desafio

quarta-feira, 16 de março de 2011

Por inspeção, temos que $[;x=0;]$ é solução. Para todo $[;x\neq0;]$ :

$[;\sqrt{1+mx}=x+\sqrt{1-mx};]$

$[;x=\sqrt{1+mx}-\sqrt{1-mx};]$

$[;x=(\sqrt{1+mx}-\sqrt{1-mx})\ (\frac{\sqrt{1+mx}+\sqrt{1-mx}}{\sqrt{1+mx}+\sqrt{1-mx}});]$

$[;x=\frac{2mx}{\sqrt{1+mx}+\sqrt{1-mx}};]$

Como $[;x\neq0;]$ :

$[;\sqrt{1+mx}+\sqrt{1-mx}=2m\ \ \ (*);]$

Elevando ambos os membros ao quadrado:

$[;(\sqrt{1+mx}+\sqrt{1-mx})^2=4m^2;]$

$[;2+2\sqrt{1-m^2x^2}=4m^2;]$

$[;\sqrt{1-m^2x^2}=2m^2-1\ \ \ (**);]$

Elevando novamente ambos os lados ao quadrado:

$[;1-m^2x^2=(2m^2-1)^2;]$

De $[;(*);]$ , temos que $[;m>0;]$

$[;x=\pm\sqrt{\frac{1-(2m^2-1)^2}{m^2}};]$

De $[;(**);]$ temos que $[;2m^2-1\geq0\Rightarrow\ m\geq-\frac{1}{\sqrt2}e\ m\leq\frac{1}{\sqrt2};]$ . Logo:

$[;x=\pm2\sqrt{1-m^2}\ ,\ \forall\ m\in[\frac{\sqrt2}{2},1];]$

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