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"Deus não joga dados..." - A.Einstein

domingo, 20 de março de 2011

Questão do Luis Eduardo

Na figura abaixo,calcule o lado do triângulo equilátero ABC ,sabendo que PA = 3 cm , PB = 4 cm e PC = 5 cm




Resolução:


Tome P' externo ao[;\Delta ABC;] tal que [;m\overline{(AP')}=5cm;] e [;m\overline{(BP')}=4cm;]

[;\Delta BCP\equiv\Delta ABP'\ \ \ (L.L.L.)\Rightarrow \angle CBP=\angle ABP';]

Mas [;\angle PBA=60^{o}-\angle CBP;] 

Logo: [;\angle PBP'=60^{o} \Rightarrow \Delta BPP';] é equilátero ([;m\overline{(PP')}=4cm;] e [;\angle BPP'=60^{o};])

[;\Delta APP';] é 3, 4, 5 [;\Rightarrow \angle APP'=90^{o};] 

Assim, [;\angle APB=150^{o};]

Aplicando a Lei dos Cossenos no [;\Delta ABP;]:

L² = 3² + 4² - 2.3.4.cos150°

L = [;\sqrt{25-12\sqrt{3}};]cm

Comentário da questão

Embora possa parecer complexo visualizar a construção da resolução, existem algumas dicas a que o aluno deve atentar. A primeira delas é que estamos lidando com os números quase cabalísticos 3, 4 e 5 em um triângulo, o que deve nos levar a pensar no triângulo pitagórico. Com isso, já fica mais fácil de perceber que necessitaremos de uma construção geométrica.

Outra dica importante é que, se o problema pedisse para provarmos que o lado do triângulo vale[;\sqrt{25-12\sqrt{3}};]cm, deveríamos começar a questão no sentido inverso. Aplicando uma lei dos cossenos no [;\Delta ABP;]determinamos o ângulo de 150°, que por sua vez nos induz a dividí-lo em 90°+60° e forçar o surgimento do pitagórico.

Questão clássica que todo candidato aos vestibulares do IME e do ITA deve conhecer. 

Referência bibliográfica
http://www.orkut.com.br/Main#CommMsgs?cmm=1299345&tid=5586134653979795088

4 comentários:

  1. Que legal!! Um blog de Matemática. Me formei recentemente em Matemática na Universidade do Estado da Bahia e vou sempre passar por aqui...
    http://essenciadaverdade.blogspot.com/

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  2. O ângulo APB não é 120° e sim 150°(90+60).

    Apesar de estar assinalado cosseno de 120°.O cálculo foi feito com cosseno de 150° que é igual a -cosseno de 30°.

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  3. Ok Leo, corrigido.

    Agradecemos pela colaboração.

    Abraços!

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  4. Curioso.

    A resolução que eu conhecia envolvia o cálculo de área através de Heron, o que era milhares de vezes mais trabalhoso.

    Muito bom... tradicional construção de um sagaz equilátero.

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