Dados de Deus: Questão do Marcelo

terça-feira, 22 de março de 2011

Questão do Marcelo

Achar o termo geral da sequência $[;x_{n}=ax_{n-1}+bx_{n-2}+c;]$ , no caso em que $[;a+b=1;]$ .

Resolução:

$[;x_{3}=ax_{2}+bx_{1}+c;]$

$[;x_{4}=ax_{3}+bx_{2}+c;]$

.

.

.

$[;x_{n}=ax_{n-1}+bx_{n-2}+c;]$

Seja $[;S=x_{3}+x_{4}+...+x_{n-2};]$ . Somando as equações:

$[;S+x_{n-1}+x_{n}=ax_{2}+aS+ax_{n-1}+bx_{1}+bx_{2}+bS+c(n-2);]$

Como a + b = 1, ficamos com:

$[;x_{n}=(a-1)x_{n-1}+[x_{2}+bx{1}+c(n-2)];]$

Chamando $[;k=x_{2}+bx_{1}+c(n-2);]$ , escrevendo todas as equações até $[;x_{n};]$ e multiplicando cada uma (considerando ainda $[;a\neq1;]$ ):

$[;x_{3}=(a-1)x_{2}+k;]$

$[;x_{4}=(a-1)x_{3}+k;]$ $[;\frac{1}{(a-1)};]$

$[;x_{5}=(a-1)x_{4}+k;]$ $[;\frac{1}{(a-1)^{2}};]$

.

.

.

$[;x_{n-1}=(a-1)x_{n-2}+k;]$ $[;\frac{1}{(a-1)^{n-4}};]$

$[;x_{n}=(a-1)x_{n-1}+k;]$ $[;\frac{1}{(a-1)^{n-3}};]$

Somando as equações multiplicadas, obtemos:

$[;\frac{x_{n}}{(a-1)^{n-3}}=(a-1)x_{2}+k(1+...+\frac{1}{(a-1)^{n-3}});]$

Desenvolvendo a P.G.:

$[;\frac{x_{n}}{(a-1)^{n-3}}=(a-1)x_{2}+k\frac{1-(a-1)^{n-2}}{(a-1)^{n-3}(2-a)};]$ [Considere $[;a\neq2;]$ ]

$[;x_{n}=(a-1)^{n-2}x_{2}+k\frac{1-(a-1)^{n-2}}{2-a};]$ , em que $[;k=x_{2}+bx_{1}+c(n-2);]$

Referência bibliográfica:

http://www.orkut.com.br/Main#CommMsgs?cmm=1299345&tid=5586653228244495392&start=1

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