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"Deus não joga dados..." - A.Einstein

segunda-feira, 14 de março de 2011

Solução do 1° desafio

Sem calcular o resultado numérico, determine quem é o maior [;

 e^{\pi} ;]ou [;\pi^{e};].

Seja [;f: \Re_{*}^{+} \mapsto \Re;] uma função definida como:

[;f(x) = \frac{x}{ln(x)} ;]

Determinemos os pontos extremos dessa função:

[;f'(x)=\frac{ln(x)-1}{ln^2(x)} = 0 \Rightarrow x = e;]

Para sabermos se [;f(e);] trata-se de um ponto de máximo ou mínimo, apliquemos o teste da segunda derivada:

[;f''(x)=\frac{2-ln(x)}{xln^3(x)}\Rightarrow 
f''(e)=\frac{1}{e} >0;] 

Portanto, [;f(e);] é um ponto de mínimo, ou seja:

[;f(x)\geq f(e) \ \forall x\in \Re_{*}^{+};] 

Desenvolvendo a desigualdade acima, obtemos:

[;\frac{x}{ln(x)}\geq e \Rightarrow xln(e) \geq 
eln(x) \Rightarrow e^x \geq x^e;] 

No caso particular de x = [;\pi;]:

[;e^{\pi} \geq \pi^{e};]

PS.: Apesar de a função [;f;] parecer um tanto nebulosa de se enxergar, se tomarmos como hipótese [;e^{\pi} \geq \pi^{e};] e desenvolvermos no sentido contrário, a função torna-se um pouco mais evidente.

2 comentários:

  1. Gostei da solução, o Blog Mathano utilizou uma função similiar a sua para demonstrar a mesma desigualdade.

    Gostei da sua abordagem pois ela é bastante objetiva.

    Até mais !

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  2. Parabéns pela postagem. Muito boa a observação sobre como obter f.
    Até+
    Pedro R.

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