Slogan

"Deus não joga dados..." - A.Einstein

terça-feira, 15 de março de 2011

Solução do 2° desafio

[;\int \frac{dx}{(1+sen(x))^2};]
[;\int \frac{dx}{(sen(\frac{\pi}{2})+sen(x))^2};]
[;\int \frac{dx}{(2sen(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})cos(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}))^2};]


Substituindo:

[;x=2u+\pi;]
[;dx=2du;]

[;\frac{1}{2}\int \frac{du}{(sen(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}+u)cos(-\frac{\pi}{4}-u))^2}du;]

Da trigonometria:

[;sen(\frac{\pi}{2}+\alpha)=cos(\alpha);]
[;cos(-\alpha)=cos(\alpha);]

Logo:

[;\frac{1}{2}\int \frac{du}{(cos(\frac{\pi}{4}+u)cos(\frac{\pi}{4}+u))^2};]
[;\frac{1}{2}\int sec^4(\frac{\pi}{4}+u)du;]

Chamando [;z=u+\frac{\pi}{4};] :

[;\frac{1}{2}\int sec^4(z)dz;]
[;\frac{1}{6}\tan(z)(sec^2(z)+2)+C;]

Voltando em x:

[;\int \frac{dx}{(1+sen(x))^2}= \frac{1}{6}\tan(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})(sec^2(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})+2)+C;]
Postado por Marcos Valle às 18:51
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4 comentários:

  1. Leandro20 de maio de 2013 às 08:21

    gostaria de entender o pq de (sen(PI/2)+senx)=2sen(PI/4+x/2).COS(PI/4-x/2)
    como vc chegou nisso? obg

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  2. DadosDeDeus20 de maio de 2013 às 10:48

    Olá, Leandro!

    Sejam A e B dois ângulos quaisquer. Então:

    sen(A+B) + sen(A-B) =
    = (senA.cosB + senB.cosA) + (senA.cosB - senB.cosA) =
    = 2.senA.cosB

    Façamos as seguintes transformações:

    x = A+B
    y = A-B

    Somando as duas equações:

    x+y = 2A --> A = (x+y)/2

    Subtraindo as duas equações:

    x-y = 2B --> B = (x-y)/2

    Assim, substituindo A e B em função de x e y na identidade senA + senB = 2.senA.cosB, temos:

    sen(x) + sen(y) = 2.sen[(x+y)/2].cos[(x-y)/2]

    Substituindo os valores de x e y chegamos ao resultado.


    Agradecemos pelo comentário e volte sempre!

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    Respostas
    1. Leandro25 de maio de 2013 às 10:51

      oi, obg por responder, gostaria de saber se a minha solução para o problema também é aceitável aqui vai:
      ∫ dx/(1+senx)²=
      ∫ [(1-senx)(1-senx)]/[(1+senx)(1+senx)(1-senx)(1-senx)]dx(multipliquei encima e embaixo por (1-senx)²)=

      ∫(1-senx)²/(1-sen²x)²dx=
      ∫(1-senx)²/(cos²x)²dx=
      ∫(1-senx)²/(cosx)^4dx=
      ∫(1-2senx+sen²x)/(cosx)^4dx=
      ∫ 1/(cosx)^4dx -2∫senx/(cosx)^4dx +∫(sen²x)/(cosx)^4dx
      ∫(secx)^4dx -2∫senx/(cosx)^4dx +∫(sen²x)/(cosx)^4dx
      chamando :
      ∫(secx)^4dx=(I)
      ∫senx/(cosx)^4dx =(II)
      ∫(sen²x)/(cosx)^4dx=(III)
      resolvendo (I)
      ∫(secx)^4dx=∫(sec²x.sec²x)dx
      fazendo u=sec²x => du=2sec²x.tgxdx, v=sec²xdx,dv=tgx
      então:
      ∫(secx)^4dx=(secx)^4-2∫(secx)^4.tgxdx

      ∫(secx)^4.tgxdx=∫(secx)².(secx)².tgxdx=
      ∫(secx)²(1+tg²x).tgxdx
      chamando tgx=u =>du=sec²xdx

      ∫(1+u²)udu=∫(u+u³)du=u²/2 +u^4/4=tg²x/2 +tg^4x/4 +c
      logo : ∫(secx)^4.tgxdx=tg²x/2 +tg^4x/4 +c, então


      ∫(secx)^4dx=(secx)^4-2∫(secx)^4.tgxdx=
      (secx)^4-2(tg²x/2 +tg^4x/4)=
      (secx)^4-tg²x +tg^4x/2+c


      resolvendo (II)
      ∫senx/(cosx)^4dx =
      chamando cosx=u => du=-senxdx
      ∫senx/(cosx)^4dx=∫-du/u^4=-∫u^-4du=-u^(-3)/-3=1/3u³=1/3(cosx)³ +c

      resolvendo (III)
      ∫(sen²x)/(cosx)^4dx=∫tg²x.sec²xdx=
      chamando tgx=u => du=sec²xdx
      ∫tg²x.sec²xdx=∫u²du=u³/3=tg³x/3+c


      logo
      ∫(secx)^4dx -2∫senx/(cosx)^4dx +∫(sen²x)/(cosx)^4dx
      (secx)^4-tg²x +tg^4x/2-2/3(cosx)³+tg³x/3 +c
      da uma olhada ai :)


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    2. Leandro25 de maio de 2013 às 10:59

      poe no papel que fica mais fácil de entender

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